Produit semi-direct

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je cherche à savoir si . il m'est indiqué de distinguer le cas N pair et le cas N impair, mais dans un cas comme dans l'autre je ne vois pas comment négocier.

Merci pour vos indications.

[barbu23]

Bonsoir : :happy3:
Alors, ce que je connais c'est que :

est un homomorphisme de goupres
est un sous groupes distingué de et verifie :
Par conséquent :

je ne sais pas si celà peut t'aider un peu ! :hein:

[mathelot]

Bj,

euh,j'y connais pas grand-chose. :hum: Il semble qu'il faille "répartir"
le déterminant de f sur N vecteurs de base, dans une base
sans doute bien choisie.

Si N est impair, on doit pouvoir considérer une racine Nième de ce déterminant, obtenir une homothétie et peut être un produit direct.

Si N est pair,deux cas se présentent selon le signe de det(f), ce qui
conduit peut être à un produit semi-direct.

sinon, il faudrait regarder si on peut pas plonger l'e.v dans un espace vectoriel
plus gros, en plongeant le corps de base dans
Le déterminant de f devient alors un nombre complexe non nul, mais le souçi
c'est qu'une racine nième sur n'est pas partout définie, il faut retirer la demi-droite du domaine de définition.
Cette contrainte géométrique,travailler dans deux cartes locales et pas globalement, va s'exprimer par un produit semi-direct (?)

[legeniedesalpages]

Si N est impair, on doit pouvoir considérer une racine Nième de ce déterminant, obtenir une homothétie et peut être un produit direct.

Bonjour, j'essaie de reprendre tes arguments petit à petit. Si ,

Pour une matrice , je considère et là je dois obtenir d'une certaine manière une homothétie?

[mathelot]

Si ,

Pour une matrice , je considère et là je dois obtenir d'une certaine manière une homothétie?

oui, on considère l'homothétie que l'on compose avec f.
le problème se situe en dimension paire.

[barbu23]

:marteau: :marteau: :marteau:

[barbu23]

regardez ici : :happy3:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,504331
Cordialement ! :happy3:

[legeniedesalpages]

oui, on considère l'homothétie que l'on compose avec f.
le problème se situe en dimension paire.

Si je comprends bien A et f c'est la même chose,
et dans le cas N impair l'isomorphisme de groupe que tu me proposes serait l'isomorphisme:

c'est bien ça?

Au final il n'y a pas de rapport avec le produit semi-direct?
En fait la question d'avant c'était de déterminer tel que .
(Par je désigne le produit semi-direct).

Donc j'avais fait ce qui était dit dans le fil dont pablo avait donné pour le lien,
et maintenant, il s'agissait de voir que ce produit direct est un produit semi-direct, ie que est un morphisme trivial.

ça me parait tout de même bizarre de ne pas utiliser ce qui précède à moins que ce soit pour le cas N pair. :hein:

[legeniedesalpages]

Bon ça doit pas être ça l'isomorphisme, il y a un problème.
On a pas forcément

Si , il me semble qu'on a pas forcément .

[ThSQ]

Vrai pour tout corps K m'semble :

M_u =
(u 0 .... 0
(0 1 .... 0)
( ...........)
(0 0 .... 1)

G = { M_u, u \in K* } et K* sont isomorphes

GL(K) = SL(K).G, SL(K) est distingué et SL(K) \inter G = { Id }

[legeniedesalpages]

Vrai pour tout corps K m'semble :

M_u =
(u 0 .... 0
(0 1 .... 0)
( ...........)
(0 0 .... 1)

G = { M_u, u \in K* } et K* sont isomorphes

GL(K) = SL(K).G, SL(K) est distingué et SL(K) \inter G = { Id }

ok mais ça montre seulement que c'est un produit semi-direct.
Cependant il me semble que via cette caractérisation interne que tu viens d'appliquer, ce produit est en fait direct ssi G est distingué dans GL(K).