Famille dense dans un Hilbert.

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

Pour les couche-tard (ou les lève-tôt) voici un très bel exercice issu de ma feuille de TD (non traité par le prof, évidemment :triste: )

On se fixe un espace de Hilbert (H,||.||) et deux familles orthonormées et telles que la série de terme général soit convergente.

On suppose que est dense dans H. Que dire de ?

Amusez-vous bien !

:happy3:

[toticonte]

si ||an-bn|| converge vers zéro on peut dire la même chose de (bn) avec n dans N c direct sans soucis. maint que j'y pense dans le cas de convergence vers klk de non null c'est toujours la même chose . bn garde la même propriété que an. la démonstration est trés rigoureuse ça se base sur la définition de base de la densité d'une ensemble. on profitera de la densité de an pour montrer celle de bn. c'est simple mais avec bcp de rigeur. boncourage

[Nightmare]

Pas d'amateurs pour une démo? :happy3:

[ffpower]

voila ma demo:je regarde l opérateur T defini par .Je veux montrer que T est bijectif.Deja,T est une isométrie,donc est injectif et d image fermée.Ensuite T s écrit Id+S ou S est l opérateur défini par .Comme par hypothese, est finie,S est donc un opérateur de Hilbert-Schmidt,donc compact.Soit maintenant x orthogonal a .Les sont 2 a 2 ortogonaux et de normes constante.Par compacité de S,la suite doit avoir une sous suite convergente.Mais est orthogonal a si p>n+1,donc la seule limite possible est 0,et T étant une isométrie,on doit avoir en fait,ie Tx=x,donc x appartient aussi a Im(T) donc x=0.Im(T) est donc dense,donc egal a tout l espace.T est bien bijectif,(b_n) est donc une base

[Nightmare]

Salut :happy3:

Je te suis jusqu'à "x=0.im(T) est donc dense" Je ne comprends pas ton "x=0.Im(T)" !

Jolie démo. Je suis passé par un opérateur aussi mais je n'ai pas la même preuve.

[Nightmare]

D'accord c'est bon, je croyais que le point désignait une multiplication d'où mon interrogation, mais c'est juste une fin de phrase.

J'ai donc compris, belle démo encore une fois.

[ffpower]

merci.. :we:
ta demo?

[Nightmare]

Re salut :happy3:

Mon idée était de partir du fait que pour toute suite complexe de carré convergent, est égal à un unique vecteur x de l'Hilbert H.

De même, par densité tout vecteur x de H peut s'écrire en prenant .

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Soit p tel que

On déduit de l'inversibilité de l'opérateur que

Par conséquent

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La projection orthogonale de sur laisse fixe ce dernier.

On a alors rapidement que .
En outre en est une base donc

:happy3:

[ffpower]

Joli aussi :++: ..J étais a un moment parti moi aussi sur cet opérateur mais j avais pas reussi a conclure..

[Nightmare]

j'ai eu du mal avec cet opérateur, mais contrairement à toi j'ai eu du mal à le définir. Mine de rien il faut l'inégalité de Bessel pour justifier son existence.