Convergence exponentielle inhabituelle

[leon1789]

Hé l'eau (maude pacedo née !)

Il y avait un topic intitulé "vos plus beaux énoncés inutiles" ou quelque chose comme ça... mais je ne le retrouve plus. Tant pis.

Voici un résultat (conjecture de mon "cru" dirais-je ... :girl2: )

On veut approximer l'intégrale (pour mémoire, ). Pour cela on choisit d'utiliser la méthode du point médian. (C'est une simple méthode de rectangle "au milieu")

> me direz-vous.
>

Pour un entier N, on approxime l'infini avec (!!), puis on subdivise l'intervalle en N intervalles de même longueur, i.e. , et on applique dans chacun des N petits intervalles la méthode du point médian, ce qui donne la valeur où .

Alors, comme approximation de , il vient .

Le résultat est alors le suivant :

ou encore, pour tout , on a

Ben, ça converge pas si mal, hein !? :zen: (d'habitude, sur un intervalle borné, la convergence de la méthode du point médian est en 1/N²... ici, c'est mieux que sur l'intervalle !)

Quelqu'un se sent d'humeur à tenter une démo ? :we:

[leon1789]

Peut-être que ce topic trouvera une meilleure place que dans la section "Supérieur" ?... Si un modo le pense, alors ne pas hésiter à le déplacer :zen:

[busard_des_roseaux]

sans vouloir faire une démo, l'intégrande
est "quasiment" à support compact.

en particulier
ce qui laisse le champs à quelques epsilonneries bien assénées.

[leon1789]

sans vouloir faire une démo, l'intégrande est "quasiment" à support compact.

en particulier
ce qui laisse le champs à quelques epsilonneries bien assénées.

Oui, on pourrait le croire, mais cela n'est pas aussi clair en fait. En effet, si on s'amuse à approximer l'intégrale de la même fonction sur un intervalle compact, par exemple , toujours avec la méthode du point médian, alors la convergence reprend son rythme normal (en 1/N^2) , bien que le problème a l'air plus abordable sur [0,5] que sur . Donc le fait que l'on mette l'infini en borne de l'intégrale a une importance dans l'histoire.