Méthode de résolution de Cardan (encore et toujours !!)

[shtefi]

Bonjour à tous !!

Je reviens encore une fois sur la méthode de résolution de Cardan. J'ai déjà beaucoup progressé depuis mon dernier bloquage (merci beaucoup pour votre aide !! :++: ) et c'est quand j'arrive à la fin de la démonstration que le manuel me propose un raisonnement qui ne tient pas la route !

Je vous explique :

On a les éléments suivants :
x^3 + px + q = 0
x = u + v
u^3 + v^3 = - q
uv = - p / 3
et l'équation du second degré t² + qt - p^3 / 27 = 0 où les solutions sont u^3 et v^3

Dans le cas où le discriminant de cette dernière équation est nul
( 4p^3 + 27q² = 0 ) on a u^3 = v^3 . Jusque là pas de problèmes.

Le manuel termine alors la démonstration comme suit :

Si u est réel et vaut g, v = u = g ; l'une des racines est x = u + v = 2g .
2g est alors racine simple et -g est racine double avec g = 3q / (2p) .

C'est cette dernière égalité qui me semble suspecte !! :briques:

[Pythales]

Puisque g est racine double, c'est aussi la racine de la dérivée, soit ;

et :
(produit des racines) soit :

soit