Algèbre

par **minidiane** » 22 Mar 2009, 17:47

Bonjour,
je n'arrive pas à faire cet exercice:

Déterminer tous les éléments de O(2) le groupe orthogonal d'ordre 2. Même question pour O(3).

Pouvez vous m'aider svp?

par **sniperamine** » 22 Mar 2009, 17:55

minidiane a écrit:Bonjour,
je n'arrive pas à faire cet exercice:

Déterminer tous les éléments de O(2) d'ordre 2. Même question pour O(3).

Pouvez vous m'aider svp?

ça veut dire quoi o(2) et o(3) j'ai rien compris là dessus

par **minidiane** » 22 Mar 2009, 17:59

oups désolé j'ai oublié de le dire
c'est le groupe orthogonal

par **Lemniscate** » 22 Mar 2009, 18:21

Tu sais que si A appartient à O(2) ou O(3), alors |det(A)|=1 ?

Tu peux peut-être commencer comme ça ?

En fait, trouves des conditions nécessaires pour que A soit dans O(2) ou O(3), tu obtiens ainsi des conditions sur les coeffs de A, et tu vérifies que toute matrice ayant de tels coeffs est dans O(2) ou O(3)

par **skilveg** » 22 Mar 2009, 18:22

C'est bizarre comme question, a priori si on a une définition correcte de

on sait ce que sont ses éléments... (ça doit même s'appeler le principe d'extensionnalité :langue2:)

par **Lemniscate** » 22 Mar 2009, 18:24

skilveg a écrit:C'est bizarre comme question, a priori si on a une définition correcte de on sait ce que sont ses éléments... (ça doit même s'appeler le principe d'extensionnalité :langue2:)

Mais je crois que la question est déterminer la forme des coeffs des matrices de O(2) et O(3) ! Parce que sinon, on a effectivement une détermination par la définition de O(2) et O(3) !

par **Lemniscate** » 22 Mar 2009, 18:26

Et sinon, tu peux justement utiliser que

par **minidiane** » 22 Mar 2009, 18:29

Lemniscate a écrit:Tu sais que si A appartient à O(2) ou O(3), alors |det(A)|=1 ?

Tu peux peut-être commencer comme ça ?

En fait, trouves des conditions nécessaires pour que A soit dans O(2) ou O(3), tu obtiens ainsi des conditions sur les coeffs de A, et tu vérifies que toute matrice ayant de tels coeffs est dans O(2) ou O(3)

En fait je ne savais pas pour le déterminant.
Donc si A est une matrice 2*2 et que ces coeff sont a,b,c,d on a ad-bc=1?

par **nuage** » 22 Mar 2009, 18:53

Salut,
à mon avis il s'agit plutôt de dire que les éléments de O(2) sont les rotations et les symétries par rapport à une droite. Ce qu'il faut démontrer...

Quand aux éléments de O(3) je te laisse le soin de les déterminer.

par **minidiane** » 22 Mar 2009, 18:57

ok
en utilisant A. tA= Id
j'obtiens un système:

a²+c²=1
ab+cd=0
b²+d²=1

ce qui me donne si je prend a=cos teta et b= sin teta
c= - sin teta et d= cos teta.

Est-ce que cela est bon?

par **Lemniscate** » 22 Mar 2009, 18:57

nuage a écrit:Salut,
à mon avis il s'agit plutôt de dire que les éléments de O(2) sont les rotations et les symétries par rapport à une droite. Ce qu'il faut démontrer...

Quand aux éléments de O(3) je te laisse le soin de les déterminer.

Mais les rotations (resp. symétries) de O(2) ne sont elles pas par définition les matrices de O(2) dont le déterminant vaut 1 (resp. -1) ?

par **jeje56** » 22 Mar 2009, 18:58

N'oublie pas la valeur absolue : |ad-bc|=1

ssi

ssi (det(A))²=1 ssi det(A)=+-1

par **minidiane** » 22 Mar 2009, 19:05

en utilisant A. tA= Id
j'obtiens un système:

a²+c²=1
ab+cd=0
b²+d²=1

ce qui me donne si je prend a=cos teta et b= sin teta
c= - sin teta et d= cos teta.

Est-ce que cela est bon?

par **Lemniscate** » 22 Mar 2009, 20:37

minidiane a écrit:en utilisant A. tA= Id
j'obtiens un système:

a²+c²=1
ab+cd=0
b²+d²=1

ce qui me donne si je prend a=cos teta et b= sin teta
c= - sin teta et d= cos teta.

Est-ce que cela est bon?

Oui cela est très bon ! Mais je crois qu'il manque un type de matrice de O(2)...

par **minidiane** » 22 Mar 2009, 20:59

Ah bon, je ne vois pas lequel :hum:

par **nuage** » 22 Mar 2009, 21:22

Lemniscate a écrit:Mais les rotations (resp. symétries) de O(2) ne sont elles pas par définition les matrices de O(2) dont le déterminant vaut 1 (resp. -1) ?

C'est vrai,mais ce n'est pas par définition.
Et le cas de O(3) est un peu plus compliqué, quand on veut le voir sous la forme matricielle.

par **minidiane** » 23 Mar 2009, 17:01

pouvez vous m'aider svp?

par **nuage** » 23 Mar 2009, 23:33

Si il s'agit de déterminer les isométries de

considéré comme

-ev pour

on peut les classer suivant les sev invariants.
Soit

et

l'ensemble des vecteurs vérifiant

.
Il est immédiat que

est un sous espace vectoriel.
Pour

on a trois possibilités :

alors est l'identité.
alors on peut écrire n'importe quel élément de de façon unique, sous la forme avec et, comme est une isométrie,. Donc est une symétrie orthogonale par rapport à
alors on démontre que dans n'importe quelle base orthonormale la matrice de est avec : c'est ce que l'on appelle une rotation d'angle avec et

par **minidiane** » 24 Mar 2009, 18:34

Ah d'accord je comprend mieux

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