Exercice 5 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;
;);) i ,;););) j ) (unitégraphique : 5 cm).
Les points C et A ont respectivement pour coordonnées (1 ; 1) et (1 ; 0), et D
est la droite déquation y = x.
1. g est la fonction définie sur [0 ; 1] par : g(x) = 1/(
e 1)*(ex 1).
a) Etudier les variations de g et vérifier que sa courbe représentative C passe
par les points O et C.
b) Déterminer des équations des tangentes à C en O et C.
c) Etudier la position relative de C et D.
d) Calculer laire de la portion du plan délimitée par la courbe C, la droite D
et les droites déquations x = 0 et x = 1.
2. Dans cette question, on se propose de généraliser les résultats obtenus à la
première question et den donner une interprétation économique.
On considère une fonction F définie et continue sur [0 ; 1] satisfaisant aux
conditions (C) suivantes :
F est croissante, F(0) = 0 et F(1) = 1.
Interprétation économique
Une fonction F satisfaisant aux conditions (C) décrit la distribution de la
masse salariale dune entreprise entre ses salariés, que lon classe par salaires
croissants : F(x) représente le pourcentage des salaires perçus par le
pourcentage x de salariés (par exemple, si 50% des salariés perçoivent 30%
de la masse salariale, alors F(0,5) = 0,3). La courbe C correspondante est
appelée courbe de Lorentz. Le coefficient
égal au rapport de laire coloriéesur le dessin à laire du triangle OAC, appelé indicateur de Gini, est alors un
indicateur dinégalité de répartition salariale.
a) Vérifier que la fonction g étudiée à la
première question satisfait aussi aux
conditions (C) et donner la valeur
i de;) correspondante.
b) Mêmes questions pour les fonctions
h et k définies sur [0 ; 1] par : C
h(x) = x2 et k(x) = x3 + x
2 .
Les fonctions g, h et k représentent trois
entreprises G, K et L. Classer ces trois
entreprises de la plus égalitaire à la
moins égalitaire.
Des la première question j'ai beaucoup de mal. Je calcul la derivée et j'arrive à (-ex +1)/(e-1)² + (ex)/(e-1)
Mais je ne sais pas comment simplifier en essayant de tout mettre sur le meme denominateur sa me destabilise plus qu'autre chose avec les chiffres.
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider? Merci d'avance