Somme directe

par **gbsatti** » 18 Mar 2009, 18:04

Bonjour, j'éprouve quelques difficultés à résoudre cet exercice

Dans l'espace R^4, on considère deux parties E1 et E2 telles que:

1)Vérifier que E1 est un sous-espace vectoriel de R^4
ça j'ai fait

2)Soit u=(1,0,2,-3) un élément du sous-espace vectoriel E2, on pose :

Déterminer le sous-espace vectoriel K de E2 de telle sorte que E2=H+K (somme directe)
3)Déterminer un vecteur v de R^4 de tel sorte que:

Merci

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 18:08

Salut :happy3:

2)
K s'appelle un supplémentaire de H dans

(Question, est-on sûr qu'il existe au moins? :lol3: )

As-tu une idée? Déjà, quelle va être la dimension de K ?

3)Il te suffit ici de résoudre le système engendré par les équations définissant E1 et E2 !

par **gbsatti** » 18 Mar 2009, 18:16

on voit bien que H est inclus dans E2, mais la difficulté que j'ai c'est de trouver K de telle sorte à ce que H+K soit encore dans E2. La dimension de K va etre la meme que H à mon avis, cad 1 ?

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 18:50

Ah bon? Et pourquoi serait-ce la même que H?

par **gbsatti** » 18 Mar 2009, 18:54

ah non ^^
je dirai dim K=dimE2-dim H ?

par **Nightmare** » 18 Mar 2009, 18:59

C'est bien ça :happy3:

Bon le problème ici est que tu n'as pas calculée la dimension de E2 (bien qu'on voit très bien ce qu'elle vaut).

Il faut donc employer une autre méthode.

Que veut dire être en somme directe pour toi?

par **gbsatti** » 18 Mar 2009, 19:07

ça veut dire que les deux ensemble sont supplémentaire et que en plus leur intersection se réduit au singleton nul.
Par contre pour trouver la dim E2, on peut pas calculer une base de E2 ?
Et comment fais-tu pour connaitre la dimension avant de la calculer ? (j'ai jamais compris ça lorsque c'est un système d'équation, par contre si il y avait juste comme équation x+2y-2z-t=0 j'aurai pu en déduire que la dimension est 3..)

par **leon1789** » 18 Mar 2009, 19:20

Nightmare a écrit:Que veut dire être en somme directe pour toi?

gbsatti a écrit:ça veut dire que les deux ensemble sont supplémentaire et que en plus leur intersection se réduit au singleton nul.

Tu mélanges !

Deux sous-espaces sont en somme directe lorsque leur intersection se réduit au singleton nul.

Etre supplémentaire, c'est être en somme directe et engendré l'espace tout entier.

par **gbsatti** » 18 Mar 2009, 19:29

ah oui effectivement, j'avais confondu somme directe et supplémentaire :)

par **gbsatti** » 18 Mar 2009, 21:01

Pour la question 3, j'ai résolu le système et j'ai trouvé x=y=z=t
donc v=(1,1,1,1).
c'est juste ?

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