Matrice

par **pusep** » 15 Mar 2009, 16:58

Bonjour, je bloque sur un exercice sur les matrices:

Soit f de M(n)(R) -> R une forme linéraire, telle que pour P et Q dans M(n)(R)
f(PxQ)=f(QxP).

Il s'agit de montrer qu'il existe a tel que pour tout M dans M(n)(R),
f(M)=a.tr(M)

Je n'arrive pas à démarrer, merci de votre aide

par **Maxmau** » 15 Mar 2009, 18:48

Bj
E(i,j) matrice dont tous les termes sont nuls sauf le terme à lintersection de la ligne i et de la colonne j qui est égal à 1
Les E(i,j) constituent une base de Mn(R).
Montre que f(E(i,j)) = 0 pour i distinct de j
Et tous les f(E(i,i)) égaux

par **pusep** » 15 Mar 2009, 19:20

Je ne vois pas trop à quoi cela avance :s

par **Maxmau** » 15 Mar 2009, 19:29

pusep a écrit:Je ne vois pas trop à quoi cela avance :s

Compte tenu de ce qui précède:
Si P = (Pij) , P =

Pij E(i,j) et f(P) =

Pij f(E(i,j)) =

Pii f(E(i,i)) = a Tr(P)
En posant a = f(E(i,i))

par **ThSQ** » 15 Mar 2009, 19:59

Une autre façon :
- toutes les formes sont de manière unique la forme M -> tr(A*M) (classique, regarder les dimensions par exemple).
- on a donc tr(A*M*Q) = (*) tr(A*Q*M) = (**) tr (M*A*Q)
(*) par hypothèse et (**) par prop. de la trace donc AM=MA
- une matrice qui commutent avec toutes les autres est une ....

par **pusep** » 15 Mar 2009, 23:16

matrice diagonale?

déja merci pour les pistes je me pencherais la dessus ;)

par **Joker62** » 15 Mar 2009, 23:29

Sont les matrices scalaires.

par **pusep** » 16 Mar 2009, 22:36

les matrices scalaireS?? désolé je n'ai pas encore vu ce que c'était :s

par **Joker62** » 16 Mar 2009, 23:07

C'est une matrice de la forme a.I_n
Regarde sur Wiki ;)

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