Algèbre linéaire

par **yos** » 12 Mar 2009, 10:55

Je vous propose l'exercice suivant, donné à un concours l'an passé. Je le trouve intéressant.

dim E = n; u et v sont des endomorphismes qui commutent.
Démontrer l'équivalence entre (1) et (2) avec :
(1) E = Im u + Im v
(2)

par **Joker62** » 12 Mar 2009, 23:58

J'trouve même pas de sens facile :^)
C'est possible un indice :p ?

par **yos** » 13 Mar 2009, 00:08

Je crois pas qu'il y ait de sens facile. Et pourtant les outils à utiliser sont aussi basiques qu'ils en ont l'air.
Attendons un peu pour les indices. Ma méthode (d'ailleurs on a dû s'y mettre à deux avec un collègue) est pas forcément la meilleure, et indice voudrait dire imposer une voie.

par **Joker62** » 13 Mar 2009, 00:34

Oki oki donc outils basique c'est déjà un indice quoi !
J'vais m'y remettre.

par **ffpower** » 13 Mar 2009, 01:19

Ouais pas d indices stp,j ai envie d y reflechir..
Ps:est ce que ca marche avec n appli linéaires?

par **yos** » 13 Mar 2009, 10:14

ffpower a écrit:est ce que ca marche avec n appli linéaires?

Bonne question. Déjà ça marche avec n=1... Je dirais que ce que j'ai fait se prête à la généralisation, mais bon faudrait l'écrire.

par **Nightmare** » 13 Mar 2009, 18:14

Pfff je trouve rien non plus, j'ai essayé en passant par la réduction de Jordan mais rien de très concluant. J'image que les outils sont plus simple que ça selon tes dires.

Je cherche encore !

par **ThSQ** » 13 Mar 2009, 19:15

L'exo est là : http://www.ens.fr/concours/Rapports/2008/INFO/mp_oral_maths_ulc_u.pdf
Il y a d'autres exos intéressants. Le 1 est faisable dès la term avec un peu d'entrainement olympique.
Le 10 (commutent => co-trigo) c'est quasi du cours chez moi donc c'est un peu étrange ...

Je détaille mon torche-b... d'hier : (2) => (1)

Les lemmes 1 à 3 sont archi-connus.

Lemme 1 : Les Ker u^k sont croissants puis stationnaires à partir du rang c (l'indice de u). Les Im u^k sont décroissants et stationnaires à partir du même rang

Lemme 2 : E = Ker u^c + Im u^c, F=Ker u^c admet donc un supplémentaire G=Im u^c stable par u tel que u/F est un isomorphisme.

Lemme 3 : F et G sont stables par v : il est connu que quand f et g commutent, Ker f et Im f sont stables par g.

-1 : si u ou v est inversible c'est évident

-2 : on peut donc se contenter d'étudier le phénomène dans F = Ker u^c

-3 : on échange les rôles de u et v. (u = u/F et v = v/F)

-4 : on se ramène à étudier le truc dans F' = Ker v^d

-5 : si F != {0 } alors sur F' u et v sont nilpotents et commutent donc ont un vecteur propre commun pour la valeur propre 0 mais ça contredit (2)

-6 : on remonte : ça veut dire que F' = {0} ie que v (= v/F) est bijectif et on est ramené au cas 1-

A noter que les 1-6 se réécrit plus proprement avec les espaces quotients et une récurrence mais là je m'y risquerais pas d amblé un jour d'oral !
Je n'ai pas utilisé le fait donné dans le pdf que l'on est dans C ... strange. peut-être pour (2) (3) ? (pas regardé encore)

L'autre sens sent la dualité à trois kilomètres : indeed on passe de Ker 'u (transposée si dans IR) à Im u par une relation bien connue

par **SimonB** » 13 Mar 2009, 19:39

Je ne trouve pas grand chose et m'apprête à penser aux idées de ThSQ. Ca vient de quel concours ? ;)

par **yos** » 13 Mar 2009, 19:47

SimonB a écrit:Ca vient de quel concours ?

ENS Paris.

par **leon1789** » 13 Mar 2009, 21:44

En utilisant des restrictions de v à des espaces comme Im u , Ker(u), E/ Im(u) , E/ Ker(u) (puisque u et v commutent), on peut interpréter les assertions (1) et (2) en termes d'endomorphismes injectifs et surjectifs (notions équivalentes en dimension finie). :id:

A vérifier...

par **ThSQ** » 14 Mar 2009, 15:35

yos a écrit:ENS Paris.

Ouais ça calme tout de suite ....

par **leon1789** » 14 Mar 2009, 17:01

Idée naïve : en utilisant des restrictions de v à des espaces comme Im u , Ker(u), E/ Im(u) , E/ Ker(u) (puisque u et v commutent), on peut interpréter les assertions (1) et (2) en termes d'endomorphismes injectifs et surjectifs (notions équivalentes en dimension finie). Mais je n'ai pas pu arriver au bout :triste:

par **The Void** » 14 Mar 2009, 18:59

ThSQ a écrit:
-4 : on se ramène à étudier le truc dans F' = Ker v^d

Je ne comprends pas: étudier le truc dans F' veut dire étudier u|F' et v|F'?

par **ThSQ** » 14 Mar 2009, 20:36

The Void a écrit:Je ne comprends pas: étudier le truc dans F' veut dire étudier u|F' et v|F'?

Oui c'est l'idée

par **yos** » 15 Mar 2009, 00:26

J'ai pris l'exo dans la RMS. La condition (iii) n'y figure pas (sauf dans un autre exo page suivante). Et on est bien sur un corps quelconque. Je pense que Thsq a fait le tour du truc. J'ai moi aussi utilisé la décomposition de Fitting

pour p assez grand et montré que l'on peut remplacer

par

dans les hypothèses. Ceci, aussi bien pour une implication que pour l'autre. J'ai un peu eu l'impression de faire deux fois la même chose et si j'en crois Thsq, c'est parce que j'ai pas vu la dualité.

par **ThSQ** » 15 Mar 2009, 11:00

yos a écrit:Et on est bien sur un corps quelconque. [...] la décomposition de Fitting

Etrange qu'ils aient mis une hypothèse "de trop". Je connaissais pas le petit nom de la décomposition

Tu as regardé le (2) (3) pour voir s'il fallait être dans C ?

par **yos** » 15 Mar 2009, 12:21

Pas pour (3) => (2) évidemment.
Pour (2) => (3) éventuellement. Ca peut merder sur un corps fini peut-être.

par **ThSQ** » 15 Mar 2009, 14:52

Oui, je fais (3) => (1) et (3) => 2 et tu fais les autres ;)

par **leon1789** » 15 Mar 2009, 19:59

Si u et v commutent et

, alors on peut définir une application f : E -> E telle que

et

.

En effet, pour

on pose par exemple

.

On a alors

et en particulier l'équivalence (1) (2).

Peut-on se passer de l'hypothèse

tout en obtenant l'existence d'une telle application f : E -> E avec

et

?

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