Cayley-Hamilton et contradiction

[aco]

Bonjour,

J'ai l'énoncé suivant :

"Soit A matrice à coefficients réels 3*3 telle que ker(A)=ker(A²).
(a) Montrer que ker(A)=ker(A^3).

On suppose à présent que rg(A) = 1.

(b) Montrer que A est diagonalisable ssi la trace de A est non nulle.
(c) Si A n'est pas diagonalisable, montrer que A²=0 (on pourra utiliser la question (a))."

Pour les questions (a) et (b), pas de problème, j'ai pu montrer dans la question (b) que 0 est valeur propre soit double soit triple de A, et que A n'est diagonalisable que si A est valeur propre double.

Pour la réponse à la question (c), je montre donc que comme A n'est pas diagonalisable, 0 est valeur propre triple de A, donc le polynôme caractéristique de A est -T^3. Ainsi en utilisant Cayley-Hamilton, A^3 est la matrice nulle. Donc finalement ker(A^3)=ker(0)= .
D'où d'après la question (a), comme ker(A^3)=ker(A²),
Alors ker(A²) = donc A²=0.

(Je trouve donc de la même façon que A est la matrice nulle, et c'est de là que va venir mon problème...)

Le problème est que je trouve une contradiction dans mon raisonnement : quand je trouve que ker(A^3)=, je sous-entend donc que ker(A)= et ainsi que dim(Ker(A))=3 ce qui contredit le théorème de la dimension (comme rg(A)=1)... Où est la faille dans mon raisonnement ??

Merci d'avance,

Aco