Dérivé

[Rwin]

Bonjour, est ce que vous pouvez m'aider svp ?

[Florélianne]

Bonsoir,

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;20] :
f(x)= (1/2)x + 4 + (3/4)ln(4x+10) - 3lnx

1. Déterminer la limite de f en 0. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ?
quand x-> 0,
(1/2)x -> 0 ; (3/4)ln(4x+10) -> (3/4)ln10 et -3lnx -> +oo
donc quand x-> 0 ; f(x) -> +00
la droite d'équation x=0 est asymptote verticale à la courbe
2. Montrer que pour tout x de l'intervalle ]0;20], f'(x)= (x²-2x-15)/(x(2x+5)
f(x)= (1/2)x + 4 + (3/4)ln(4x+10) - 3lnx
la dérivée d'une somme est la somme des dérivées
dérivée de (1/2)x -> 1/2
dérivée de 4 -> 0
dérivée de (3/4)ln(4x+10) = (3/4)*[4/(4x+10)]= 3/(4x+10)
dérivée de -3lnx -> -3/x
f'(x) = (1/2)+0+ 3/(4x+10) -3/x = [x(2x+5)+3x-3(4x+10)]/x(4x+10)
f'(x)=(2x²+5x+3x-12x-30)/2x(2x+5)
f'(x)=(2x²-4x-30/2x(x-+5) = 2(x²-2x-15)/2x(2x+5)
f'(x)=(x²-2x-15)/x(2x+5)

3. Déterminer les variations de f sur l'intervalle ]0;20].
x²-2x-15=0
delta = 4+60=64=8² x1 = (2-8)/2=-6/2=-3
x2=(2+8)/2=10/2=5
sur ]0 ; 5[ le numérateur de f'(x) est négatif, sur ]5 ; 20] il est positif
sur ]0 ; 20] x > 0 et 2x+5 > 0 (somme de deux nombres positifs)
donc sur ]0 ; 20] f'(x) est du signe du numérateur

• f est décroissante sur ]0 ; 5[
• f est croissante sur ]5 ; 20]

f(5) = (5/2) +4 + (3/4)ln30 -3ln5 ~ 4,22
f(20)= 10+4+(3/4)ln90 -3ln20 ~ 8,39

Bon travail

[Rwin]

merci beaucoup !