Angle de vecteurs

[Krissprols]

Enoncé:
Soit (ABC) un triangle non aplati.
Montrer que les symétriques de son orthocentre H par rapport à ses côtés appartiennent au cercle circonscrit au triangle.

On me propose cette solution ou l'on travaille avec des angles orientés de VECTEURS (que je n'ai pas réussi a faire apparaître...)

Considérons H;) le symétrique de H par rapport à (BC).
(H;)B,H;)C)+(AC,AB)=(H;)B,H;)H)+(H;)H,H;)C)+(AC,AH)+(AH,AB)=Pi/2+Pi/2=0;)[ Pi ]
donc (H;)B,H;)C)=(AB,AC);)[ Pi ] puis 2(H;)B,H;)C)=(OA,OB);)[ 2Pi ] avec O centre du cercle circonscrit.
Par suite H;) appartient à ce cercle.


Ma question est pourquoi la première égalité (H;)B,H;)C)+(AC,AB)= 0;)[ Pi ] est justement modulo Pi alors que l'on travaille avec des angles de vecteurs définis modulo 2Pi il me semble...

Merci

[pusep]

tu travailles avec des symétriques, quitte à remplacer H par H', le résultat est similaire

[yos]

Quand tu remplace un vecteur u d'un angle (u,v) par un autre u' qui lui est colinéaire, tu as (u,v)=(u',v) modulo pi .
Ceci pour prendre en compte les deux cas de figure : u et u' de même sens ou pas.

[Krissprols]

Je ne vois pas pourquoi cela génère un modulo Pi puisque si on remplace un angle (u,v) par un angle (u',v) où u' et u sont colinéaires soit les vecteurs ont meme sens et alors (u,v)=(u',v) [2Pi] soit ils sont de sens contraire et alors (u,v)=(u',v) + Pi [2Pi]..

Donc dans les deux cas pour moi on reste modulo 2Pi...

[mathelot]

ça correspond (concerne) des angles de droites (pi) et pas de demi-droites (2pi)

[yos]

si on remplace un angle (u,v) par un angle (u',v) où u' et u sont colinéaires soit les vecteurs ont meme sens et alors (u,v)=(u',v) [2Pi] soit ils sont de sens contraire et alors (u,v)=(u',v) + Pi [2Pi]

L'alternative :
(u,v)=(u',v) [2Pi] ou (u,v)=(u',v) + Pi [2Pi]
se résume en :
(u,v)=(u',v) [Pi]

[Krissprols]

Je crois que je raisonnais mal du fait d'une bêtise sur la notion de congruence...
Du fait de (u,v)=(u',v') (2Pi) on a en fait (u,v)=(u',v') (Pi), c'est une condition nécessaire car avec cette hypothèse il existe un entier k tel que :
(u,v)=(u',v') + 2kPi
En prenant k'=2k... on a bien la congruence modulo Pi

Je crois que je faisais la confusion suivante en gros si (u,v)=(u',v') (2Pi) c'est équivalent à dire que ces deux angles sont égaux "quelque soit le nombre de tours de 2pi" ou encore qu'on a une infinité de possibilités du coup... En disant ceci je sous entends donc un pour tout k dans (u,v)=(u',v') + 2kPi n'est ce pas ? Et c'est de là que vient l'erreur je présume ?

Cordialement.

[yos]

Je sais pas d'où vient ton erreur mais les faits sont là :
La notation est abusive dans la mesure où on confond un angle et une de ses mesures.
On sauve les meubles en écrivant , voulant dire par là qu'un angle s'identifie à l'ensemble de ses mesures (ou à un élément de R/2piZ). Du coup le "quel que soit k" auquel tu fais allusion est bien légitime ici.
Par contre quand tu écris (u,v)=(u',v'), c'est idiot (même si on le fait tous) de mettre un modulo 2pi. En effet ici tu t'affranchis de la notion de mesure.
Le "il existe k" apparait dans le contexte suivant : si (u,v)=(u',v') , une mesure de (u,v), une mesure de (u',v'), alors .