Fermé et compact

[fabulous62]

bonjour,

voila un petit exo :
soit F un sous ensemble de E compact
il faut montrer que si F est fermé Alors F est compact à l'aide des SUITES!!!

F est fermé :(xn) dans F qui converge vers x qui appartient à E , alors x appartient à F
E est compact: (BW) (yn) dans E admet une ss suite convergente (y'n) dans E
d(x,y) <= d(x,x'n) + d(x'n,y'n) + d(y'n,y) = 0 + 0+ 0=0 d'ou d(x,y)=0
ainsi x= y et y appartient à F

est ce correct?
MERCI bonne journée

[Maxmau]

Bj

Raisonnement ??
Soit (yn) une suite d’éléments de F
C’est à fortiori une suite d’éléments de E
Comme E est compact ……..
Comme F est fermé toute suite d’éléments de F qui converge dans E a sa limite dans F.
Donc : …..

[fabulous62]

mais utiliser l'idée d'inegalité triangulaire n'est pas fausse ?
MERCI

[Joker62]

Bé ton raisonnement est faux parce que tu montres rien là :^)
On sait même pas c'est qui x'n et y :o

La question c'est de démontrer que F est compact avec les suites, donc faut prendre une suite dans F et montrer qu'elle possède une sous-suite convergente.

[fabulous62]

(y'n) c'est la sous suite qui converge vers y dans E car E compact
de plus comme (x'n) est une sous suite de (xn) et (xn) converge vers x dans E Alors par une propriété du cours (x'n) converge vers x.
d'ou d(x'n,y'n) =0 car x'n et y'n sont ds eux et d(x'n,y'n)=1/G(n)>n
d(x,x'n)=0 et d(y'n,y)=0
alors d(x,y)=0 et x=y et com x appartient à F car F fermé alors y=lim y'n appartient à F donc (y'n) sous suite convergente dans F
F compact

c 'est pas bon ça?

[yos]

C'est pas faux, c'est un peu n'importe quoi. Comme te le dis Joker, il n'y a qu'un point de départ possible : prendre une suite de F et lui trouver une sous-suite convergente.