Faire du chiffre

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
nodgim
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Faire du chiffre

par nodgim » 03 Mar 2009, 21:30

C'est dans nos entreprises qu'on entend ça, c'est à la mode...prochainement à l'école et dans les hôpitaux....
Plus sérieusement, je réécris les puissances de 2 selon ce mode opératoire:
1
2
4
8
16
212
424
848
16816

c'est à dire que je multiplie chiffre à chiffre.

Bon, c'est loufoque, mais ça fait poser plein de questions:
Pas dur: les seuls chiffres qui apparaissent sont..?
Plus dur: Quels sont les chiffres les plus représentés ?
Plus dur encore:Le centième nombre, peut on estimer son nombre de 2 ?
La dernière question est ouverte, je n'ai pas trouvé de réponse toute faite, quelqu'un aura peut être plus de clairvoyance.

Bon amusement :happy2:



ThSQ
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par ThSQ » 03 Mar 2009, 21:52

Le 1- est facile ;)

Le 2- intuitivement ça devrait être 2.

scelerat
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par scelerat » 04 Mar 2009, 12:30

nodgim a écrit:Plus dur encore:Le centième nombre, peut on estimer son nombre de 2 ?

C'est un peu taupinal, mais ca doit pouvoir se faire. Soient n1,n2,n4,n6,n8 les nombres de chacun des chiffres 1,2,4,6,8. Le rang i s'exprime en fonction du rang i-1 et en continuant i-2, i-4, i-8, i-16,... par
i ... i-1 ... i-2 ... i-4 ...
n1=n6+n8=n8+n4 =n2+n6+n1 = ...
n2=n6+n1=2n8+n6 =2n2+n4 = ...
n4=n2 =n6+n1 =2n4+n8 = ...
n6=n8 =n4 = n6+n1 = ...
n8=n4 =n2 =2n8+n6 = ...
A la mode habituelle, on ecrit que 100=64+32+4, et on applique a {1,0,0,0,0}.

Doraki
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par Doraki » 04 Mar 2009, 12:45

une matrice, une exponentiation, et c'est bon.

Pour le chiffre le plus représenté, c'est 2 ?

un peu plus dur : quel est le nombre de fois où la séquence "621" apparaît sur la 100ème ligne ?

nodgim
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par nodgim » 04 Mar 2009, 19:33

Doraki a écrit:une matrice, une exponentiation, et c'est bon.

Pour le chiffre le plus représenté, c'est 2 ?

un peu plus dur : quel est le nombre de fois où la séquence "621" apparaît sur la 100ème ligne ?


Matrice et exponentiation sont des termes dont je ne connais pas la signification exacte. Si tu pouvais développer un peu...
Alors, les chiffres les plus représentés, à part le 2 ?

nodgim
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par nodgim » 04 Mar 2009, 19:36

scelerat a écrit:C'est un peu taupinal, mais ca doit pouvoir se faire. Soient n1,n2,n4,n6,n8 les nombres de chacun des chiffres 1,2,4,6,8. Le rang i s'exprime en fonction du rang i-1 et en continuant i-2, i-4, i-8, i-16,... par
i ... i-1 ... i-2 ... i-4 ...
n1=n6+n8=n8+n4 =n2+n6+n1 = ...
n2=n6+n1=2n8+n6 =2n2+n4 = ...
n4=n2 =n6+n1 =2n4+n8 = ...
n6=n8 =n4 = n6+n1 = ...
n8=n4 =n2 =2n8+n6 = ...
A la mode habituelle, on ecrit que 100=64+32+4, et on applique a {1,0,0,0,0}.

Peut être, oui, scélérat, mais il faudrait un peu concrétiser.

nodgim
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par nodgim » 04 Mar 2009, 20:03

Doraki a écrit:: quel est le nombre de fois où la séquence "621" apparaît sur la 100ème ligne ?

Autant que de "2" au rang 90.

Doraki
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par Doraki » 04 Mar 2009, 23:10

Si tu connais la composition (le nombre d'occurences de chaque chiffre) sur la ligne n, tu peux en déduire facilement la composition de la ligne (n+1).

Si on représente la composition d'une ligne par un 5-uplet (x1,x2,x4,x6,x8),
l'opération qui donne le 5-uplet de la ligne (n+1) en fonction du 5-uplet de la ligne n est une application linéaire de R^5 dans R^5 :
(x1,x2,x4,x6,x8) --> (y1:= x6+x8, y2:= x1+x6, y4:= x2, y6:=x8, y8:=x4)

Si on compose cette transformation f avec elle même on obtient la transformation linéaire f² qui permet de passer de la ligne n à la ligne n+2, et ainsi de suite.
Ainsi, le nombre de 2 sur la 100-ième ligne est la composante x2 de (f^99) appliqué à la première ligne, de composition (x1=1, x2=0, x4=0, x6=0, x8=0)
Il "suffit" donc de "calculer" f^99

En étudiant cette transformation linéaire, on peut en déduire des trucs sur le comportement asymptotique de l'itéré de cette transformation.

Par exemple en cherchant quels sont les 5-uplets U qui vérifient f(U) = k * U avec un complexe k, on peut construire une formule qui donne explicitement (f^n)(1,0,0,0,0).

Si on cherche à résoudre le système f(x1,x2,x4,x6,x8) = k *(x1,x2,x4,x6,x8),
on trouve que k doit vérifier l'équation k^5 - 2*k - 1 = 0, qui a une solution réelle positive K
Les autres solutions complexes ou réelles sont de module < K, ce qui fait qu'asymptotiquement, notre 5-uplet va se rapprocher de la solution pour k=K :
(f^n) (1,0,0,0,0) se rapproche de (une constante) * K^n * (K^4-1, K^3, K², 1, K).

K>1, car 1^5 - 2*1 - 1 = -2 < 0 et k^5 -2k-1 tend vers l'infini quand k augmente.
on a K^5-2K-1 = 0, on peut factoriser et diviser par (K+1) pour obtenir
K^4-K^3+K^2-K-1 = 0.
Donc K^3 = (K^4-1) + (K²-K) > K^4-1 car K>1,
K^4-1 = K² + (K^3-2K²+K) = K² + K*(K-1)² > K² car K > 0.
On a donc K^3 > K^4-1 > K² > K > 1,
et donc on aura à partir d'un moment, x2 > x1 > x4 > x8 > x6.


Quant à l'apparition de la séquence "621", t'es sûr que c'est pas plutôt la 92ème ligne qu'il faut regarder ?

nodgim
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par nodgim » 05 Mar 2009, 00:10

Euh, oui tu as raison, 621 apparait pour la première fois à la 10ème ligne alors que le 2 apparait à la seconde ligne. Les 2 nombres ayant la même progression, c'est bien à la 100-8=92ème ligne que le nombre de 2 vaut celui de 621 à la 100ème ligne.

nodgim
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par nodgim » 05 Mar 2009, 21:07

Super, sinon, pour ton anlyse, Doraki, tu es allé bien plus loin que moi! :++:

 

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