par Doraki » 04 Mar 2009, 23:10
Si tu connais la composition (le nombre d'occurences de chaque chiffre) sur la ligne n, tu peux en déduire facilement la composition de la ligne (n+1).
Si on représente la composition d'une ligne par un 5-uplet (x1,x2,x4,x6,x8),
l'opération qui donne le 5-uplet de la ligne (n+1) en fonction du 5-uplet de la ligne n est une application linéaire de R^5 dans R^5 :
(x1,x2,x4,x6,x8) --> (y1:= x6+x8, y2:= x1+x6, y4:= x2, y6:=x8, y8:=x4)
Si on compose cette transformation f avec elle même on obtient la transformation linéaire f² qui permet de passer de la ligne n à la ligne n+2, et ainsi de suite.
Ainsi, le nombre de 2 sur la 100-ième ligne est la composante x2 de (f^99) appliqué à la première ligne, de composition (x1=1, x2=0, x4=0, x6=0, x8=0)
Il "suffit" donc de "calculer" f^99
En étudiant cette transformation linéaire, on peut en déduire des trucs sur le comportement asymptotique de l'itéré de cette transformation.
Par exemple en cherchant quels sont les 5-uplets U qui vérifient f(U) = k * U avec un complexe k, on peut construire une formule qui donne explicitement (f^n)(1,0,0,0,0).
Si on cherche à résoudre le système f(x1,x2,x4,x6,x8) = k *(x1,x2,x4,x6,x8),
on trouve que k doit vérifier l'équation k^5 - 2*k - 1 = 0, qui a une solution réelle positive K
Les autres solutions complexes ou réelles sont de module < K, ce qui fait qu'asymptotiquement, notre 5-uplet va se rapprocher de la solution pour k=K :
(f^n) (1,0,0,0,0) se rapproche de (une constante) * K^n * (K^4-1, K^3, K², 1, K).
K>1, car 1^5 - 2*1 - 1 = -2 < 0 et k^5 -2k-1 tend vers l'infini quand k augmente.
on a K^5-2K-1 = 0, on peut factoriser et diviser par (K+1) pour obtenir
K^4-K^3+K^2-K-1 = 0.
Donc K^3 = (K^4-1) + (K²-K) > K^4-1 car K>1,
K^4-1 = K² + (K^3-2K²+K) = K² + K*(K-1)² > K² car K > 0.
On a donc K^3 > K^4-1 > K² > K > 1,
et donc on aura à partir d'un moment, x2 > x1 > x4 > x8 > x6.
Quant à l'apparition de la séquence "621", t'es sûr que c'est pas plutôt la 92ème ligne qu'il faut regarder ?