Equation tangente

par **magali49** » 28 Fév 2009, 12:47

Bonjour à tous,
J'ai un problème sur un exercice de maths que j'aimerai bien résoudre.
On a deux courbes f(x)=x² et g(x) = -x²+8x-14
J'ai construit ses deux courbes puis la tangente à la fois à Cg et à Cf.
On me demande de trouver l'équation de cette tangente sachant que la tangente passe par le centre de symétrie I(2;1).
J'ai posé y = ax + b ; c'est l'équation de la droite, tangente aux deux courbes.

Les fonctions sont f(x) et g(x) représentées par C et C', j'ai pris A sur C tel que A(2;4) et B sur C' tel que B(3;1).

Si la droite est tangente en A à C, alors : y = f'(a)(x - a)+f(a).
Si la droite est tangente en B à C', alors : y = g'(b)(x - b)+g(b).

On en déduit que : f'(a) = g'(b): les coefficients directeurs doivent être égaux ,
Ici je ne trouve pas f'(a)=g'(b). Pour moi, f'(a) vaut 4 et g'(b) vaut 2.

Voilà mon problème, merci de m'aider...

par **XENSECP** » 28 Fév 2009, 13:13

Edit : faux ^^

par **emcee** » 28 Fév 2009, 13:20

D'où sortent tes points A et B ???
Tu sais juste que la tangente que tu cherches est à la fois tangente à C et tangente à C', mais tu ne sais pas a priori où.

Soit y = ax+b l'équation de la tangente recherchée.
Tu n'as qu'à dire que cette droite est tangente à C en un point M de coords (x1, y1).
Comme M est sur C, y1 = ... en fonction de x1.
Comme M est sur la tangente recherchée, y1 = ... en fonction de x1.

En résolvant le système obtenu, tu obtiens x1 et y1.

Tu connais alors 2 points (M et I) sur cette droite, donc tu es ensuite capable de déterminer son équation.

Courage !

par **magali49** » 28 Fév 2009, 13:33

Je vais essayer vos méthodes, merci...

par **magali49** » 28 Fév 2009, 13:42

J'ai essayé ta méthode emcee mais à cette étape "Comme M est sur la tangente recherchée, y1 = ... en fonction de x1." je ne vois pas quoi faire.
Pour "Comme M est sur C, y1 = ... en fonction de x1." j'ai mis y1=x1² c'est bon ?

Merci de prendre de votre temps pour m'expliquer.

par **XENSECP** » 28 Fév 2009, 13:56

J'ai simplement dit que si les 2 courbes ont une tangente commune, elle est au même point mais je crois en y repensant que je me suis juste planté

En fait je suis parti sur un truc un peu bizarre... J'aurais du rester sur ma première idée...

2 secondes que je re-cogite

Soit ta tangente (T) : y = ax+b.

Déjà I est dessus donc 1 = 2a+b.

f(x)=x² et g(x) = -x²+8x-14
Tu dis qu'elle est tangente en x1 à f et en x2 à g :

Il faut que les 2 équations soient les mêmes, soit :

Soit :

Et donc :

Tu as 2 choix pour x_1 et donc pour x_2. Mais tu as une condition sur la droite car I appartient à T

par **emcee** » 28 Fév 2009, 16:12

> magali49

M est sur C donc y1 = x1^2 OK
par le même raisonnement, si y=ax + b est l'équation de la tgte recherchée, le point M est sur la tangente <=> y1 = ax1 + b

par **emcee** » 28 Fév 2009, 16:14

XENSECP a écrit:J'ai simplement dit que si les 2 courbes ont une tangente commune, elle est au même point mais je crois en y repensant que je me suis juste planté

En fait je suis parti sur un truc un peu bizarre... J'aurais du rester sur ma première idée...

2 secondes que je re-cogite

Soit ta tangente (T) : y = ax+b.

Déjà I est dessus donc 1 = 2a+b.

f(x)=x² et g(x) = -x²+8x-14
Tu dis qu'elle est tangente en x1 à f et en x2 à g :

Il faut que les 2 équations soient les mêmes, soit :

Soit :

Et donc :

Tu as 2 choix pour x_1 et donc pour x_2. Mais tu as une condition sur la droite car I appartient à T

Il suffit de chercher x1, puisqu'on a besoin d'un seul autre point que I pour trouver l'équation de la tangente. Et x1 est plus simple à trouver que x2 vu f(x) et g(x) ...

par **magali49** » 01 Mar 2009, 09:12

J'ai fais ce que vous m'avez dit je trouve M1 (2+racine3;-5-4racine3)
Ensuite j'ai chercher l'équation de la droite avec I et M1 : je ne trouve pas la bonne réponse.
Dans l'énoncé de mon exercice il faut que je trouve les coordonnées de deux point M1 sur Cf et M2 sur Cg, j'ai essayé de chercher M2 mais je n'y arrive pas, merci de m'aider

par **emcee** » 01 Mar 2009, 11:58

M1 est sur C : y1 = x1^2
M1 est sur T : y1 = ax1 + b

or a, le coeff directeur de la tgte, vaut f'(x1) par définition de la tgte

donc :
y1 = x1^2
y1 = 2 . x1^2 + b

enfin, I(2,1) est sur T donc 1 = 2a+b = 4x1 + b soit b = 1-4x1

tu arrives alors à une équa du 2d degré en x1 simple à résoudre ...

Equation tangente

Equation tangente

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