DM seconde inégalités entre moyennes

[Champi]

Exercice 1:

Pour tous nombres réels strictement positifs x et y on pose:
a= (x+y):2 (moyenne arithémtique)
g=\/¯ xy (moyenne géométrique)
q=\/¯ [(x²+y²):2] (moyenne quadratique)
h= 1: [(1:x+1:y):2] (moyenne harmonique, on vérifiera que, pour tous x et y, h= 2xy:(x+y) )
on pose enfin, s= [(\/¯ x+\/¯ y):2]²

1. Calculer ces cinq nombres pour x=y
2. Recopier et compléter le tableau ci-contre
x=4, y=16, a=?, g=?, h=?, q=?, s=?
x=14, y=?, a=8, g=?, h=?, q=?, s=?
x=12, y=?, a=?, g=6, h=?, q=?, s=?
x=4, y=?, a=?, g=?, h=6, q=?, s=?
x=7, y=?, a=?, g=?, h=?, q=5, q=?
x=9, y=?, a=?, g=?, h=?, q=?, s=4


3. Quelle conjecture peut-on énoncer sur l'ordre des moyennes a, g, h et q de deux nombres positifs? Proposer une démonstration pour une des inégalités envisagées.


Exercice 2:
On considère un triangle ABC rectangle en A, le centre O du cercle circonscrit à ABC, et le pied H de la hauteur. Le point I est le projeté orthogonal de H sur (AO) et le point G est le point de la perpendiculaire en O à (AO) situé dans le demi-plan de frontière (AO) ne contenant pas H et tel que HO=OG. On pose HB=x et HC=y

1. Etablir que AH= \/¯ xy (dans tout triangle rectangle, la hauteur est moyenne géométrique des segments qu'elle détermine sur l'hypothénuse). On pourra utiliser le théorème de Pythagore successivement dans trois triangles rectangles.
2. Prouver que OA= (x+y):2
3. En calculant cosHAI(angle) de deux manières différentes, établir que AH²=AI x AO. Calculer AI en fonction de x et y.
4. Montrer que AG= \/¯ [(x²+y²):2]
5. Comparer les distances qui viennent d'être calculées. Que retrouve t-on?

Exercice 3:
Un rectangle a pour longueur x et pour largeur y.
1. Déterminer la mesure du côté d'un carré ayant même périmètre que le rectangle initial.
2. Déterminer la mesure g du côté d'un carré ayant même aire que le rectangle initial.
3. Déterminer la mesure q du côté d'un carré dont la diagonale a la même longueur que les diagonales du rectangle initial.
4. Illustrer les situations précedentes par un dessin représentant le rectangle et les trois carrés dans le cas x=16 et y=4.

En fait, pour le premier exercice, la question 1, je crois avoir plus ou moins réussi, mais j'ai toujours un problème de rédaction.
Pour le tableau je vois à peu près comment faire, mais je bloque sur la 1e ligne à la 6e colonne...
Et la suite, c'est surtout du vocabulaire, par exemple qu'est-ce qu'une conjecture, et dans l'exercice 2, qu'est-ce qu'un projeté orthogonal, et le demi-plan d'une frontière?
Pour l'exercice 3, je me doute que l'on doit trouver les moyennes aithmétique, géométrique, quadratique, ect, mais je ne vois pas comment poser le problème, et du coup je reste bloquée...
Merci d'avance!

[emcee]

premier ex.

donne nous les solutions que tu as trouvées si tu n'en es pas sûr, et pour la 1e ligne 6e colonne, donne nous le début de ton calcul pour voir où tu bloques.


qqs définitions :

conjecture = hypothèse formulée à partir de qqs exemples, qu'on va chercher à démontrer. Par exemple, si dans ton tableau tu as systématiquement a<h, tu vas faire la conjecture suivante : "la moyenne arithmétique de 2 nombres est plus petite que leur moyenne harmonique". Reste ensuite à la démontrer ...

projeté orthogonal d'un point M sur une droite (D) : c'est le point d'intersection entre (D) et la perpendiculaire à (D) issue de M.

demi-plan : la moitié d'un plan . Trace une droite D quelconque, elle coupe le plan (O, i, j) en 2 parties (à gauche / à droite ou en haut / en bas etc). Ces 2 parties s'appellent des demi-plans.
Dans ton cas, le demi-plan de frontière (AO) contenant H, c'est la partie du plan à "gauche" ou à "droite" (ou en "haut / en bas, etc) de la droite (AO) où H est. Et donc le demi-plan de frontière (AO) ne contenant pas H, c'est l'autre...



Exo 3
1) pose a = côté du carré recherché. Le périmètre du carré vaut alors p1 = ... ; et le périmètre du rectangle initial vaut p2 = ...
donc si p1 = p2, ça donne ...
et tu conclus en exprimant a en fonction de x et y, tu verras apparaître une certaine moyenne.