C'est encore moi ^^ exo taux d'alcolémie et exponentielle

[lolali]

REbonsoir, voilà un autre exo ou je galére se soir .. décidément

Quand une personne absorbe à jeun une certaine quantité d'alcool on note f(t) le taux d'alcoolémie ( en g.L ) à l' instant t ( en h) de son organisme. On considére que f est définie par l'équation diférentielle :

f ' (t) = ae^-t - f(t)
et f(0) = 0

1) on pose g(t) = e^t f(t)
calculer g ' (t) et en déduire que g est une fonction affine
=> euh là je bloque deja

2) exprimer f(t) en fonction de 'a' et de 't'
=> je n'ai pas compris la question

3) on pose a = 5,
a- determiner le taux d'alcoolémie max et le temps au bout duquel ce taux est atteind,

b- etudier la fonction f et la representer graphiquement

c- au bout de combien de temps la personne peut elle prendre le volant sans enfreindre la legislation ( taux max = 0.5 g.L )

[mperthuisot]

pour la 1) tu utilises la formule de dérivée d'un produit
(uv)'=u'v+uv'

[lolali]

merci, donc soit u = e^t u'= e^t
v= f(t) v'= ae^-t je ne sais pas comment trouver v

[mperthuisot]

tu as g'(t)=e^t*f'(t)+te^t*f(t)
à toi de continuer

[lolali]

je peux remplacer f '(t) par ae^-t *f(t) ou pas ? dans la 1

forme affine car de la forme ax+b ?

2) comment exprimer en fonction de a ?

[mperthuisot]

oui tu remplaces f'(x) par ton expression

[lolali]

on trouve e^t * ae^-t -f(t) + te^t *f(t)
= a-f(t) +te^t *f(t) ??

[iLove]

C'est marrant j'ai eu éxactement cet exercice à mon dernier DS

[lolali]

Ilove tu ne pourrais pas m'aider ? =) enfin si tu te souviens de ton DS

[iLove]

Attend je vais regarder ;)

[iLove]

Alors enfait, pour la 1 tu calcul g'(t) et tu devrais trouver a (n'oubli pas de prouver l'éxistence de g'(t) en disant qu'elle est dérivable car de la forme...blablabla). Donc tu trouve a ce qui prouve que la fonction est affine.

Ensuite pour la 2, tu sais que g(t)=ax+k
Pour t=0 on a g(t)=1*0=0
donc g(t)= ax
on peut donc dire g(t)=exp(t)*f(t)
<=>ax=exp(t)*f(t)
<=>f(t)=a.t.exp(-t)
Ensuite pour le taux d'alcoolémie max tu dérive, tu fais le tableau de variation et tu vois que le max est atteint pour t=1.
Pour l'étudier tu cherche les limites en 0 et +oo, tu trace la courbe avec tes informations.
Finalement, pour la dernière question tu as simplement à poser une équation:
f(t)<0,5 et tu résous en prenant soin de bien convertir le temps en minutes.

[lolali]

MErciii beaucoup :)