Asymptotes

[tybo77]

Bonjour, voici l'enonce d'un devoir que je fais, je ne trouve pas tout :

Soit f la fonction définie sur ]-inf;0[union]0;+inf[ par f(x) = 1 - x + 1/x et C sa courbe réprésentative dans un repère orthonormal (O;i;j).

1. Prouver que C admet une asymptote D d'équation y = 1-x. Etudier la position de C et D.

==> lim [f(x)-(1-x)]=0
x+inf
donc y=1-x asymptote à C

Sur ]-inf;0[ C en dessous de D
Sur ]0;+inf[ C au dessus de D.


2. Etudier les variations de f puis tracer C et D.

==>f décroissante sur ]-inf;0[]0;+inf[ , 0 valeur interdite.

3. Discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l'équation f(x) = m.

==> 2 solutions quelque soit m

4. Lorsque la droite d'équation y = m coupe C en deux points M1 et M2 d'abscisse x1 et x2, on note H1 et H2 les points de l'axe des abscisses ayant respectivement la même abscisse x1 et x2 que M1 et M2.

a. Prouver que x1 et x2 sont solutions de l'équation x²-(1-m)x -1 =0

==> On a x1 et x2 intersections de C et f(x)= m
donc 1-x+ 1/x= m
1-x+ 1/x -m =0

D'autre part
x²-(1-m)x -1 =0
x²-(x-mx)-1=0
x²-x+mx-1=0
x(x-1+m-1/x)=0
x-1+m-1/x=0

On retrouve la première expression.

b. Vérifier que H1H2² = (x2 - x1)² = (x2 + x1)²-4x1x2 et en déduire H1H2² en fonction de m.

==> On a (x2 + x1 )² = x2² + 2x1x2 + x1²

or (x2 - x1) = x2² - 2x1x2 + x1²

donc (x2 - x1)² = (x2 + x1)²-4x1x2

==> Ensuite H1H2²= (x2 + x1)²-4x1x2
Je cherche x1 et x2
On a x²-(1-m)x -1 =0
delta = b²-4ac
delta= (-1+m)²+4

donc x1 = [(1-m- racine((-1+m)²+4)]/2
et x2 = [(1-m+ racine((-1+m)²+4)]/2

donc H1H2²= m² - 2m + 9

5. On note Cm le cercle de diamètre [H1H2²].

a. Vérifier que son centre a pour abscisses (1-m)/2 et que son rayon r²= 1 + (1-m)²/4

==> Je trouve un rayon de 2 + (1-m)²/4
ensuite je n'y arrive pas

b. En déduire que x²+y²-(1-m)x-1=0 est une equation de Cm.

[tybo77]

Pouvez vous m'aider pour la question 5 ?svp

[tybo77]

J'ai trouvé pour l'abscisse du centre :

en, fait H1(x1;0) et H2(x2;0) et [H1H2] est le diamètre donc le centre est le milieu du diamètre donc :
abscisse de centre = (x1+x2)/2 = (1-m)/2 après plusieurs étapes de calculs

Par contre je trouve toujours r² = 2 +(1-m)²/4 au lieu de r² = 1+ (1-m)²/4 donc si qqun peut m'aider ...

[tybo77]

Quelqun peut m'aider pour la question 5.a 2ème partie et la question 5.b s'il vous plait ?

[tybo77]

Pas d'idée pour la 2nde parite de la question 5.a