Raisonnement par récurrence problématique

[skippy]

Bonjour, j'ai cet exercice de maths qui me pose problème. Tout va très bien jusqu'à la question 2)b) : montrer que la suite est bornée. Le professeur nous a dit de le faire par récurrence et pas d'une autre manière avec normalement 2/3<Un<1 . Je ne comprends strictement rien à la méthode par récurrence avec ce cas, si quelqu'un pourrait m'aider...



Exercice 2

On considère la fonction f définie sur [0 ; 1 ] par f (x ) = x + 1
2x + 1 .
Sa représentation graphique Cf est donnée au verso de cette feuille.
1: a: Etudiez les variations de f sur [0; 1].
b: Montrer que pour tout x de [0 ; 1] on a 23
f(x) 1
c:Démontrer par le calcul que la courbe Cf et la droite (D) d'équation "y = x" ont un
unique point d’intersection L et préciser ses coordonnées...
d: Tracer la droite (D) et placer le point L sur le graphique ci-joint.
2. On définit alors la suite (un) par: u0 = 0 et un+1 = f(un) pour tout entier naturel n.
a. Calculez U1 , U2 et U3
b. Montrer que (un) est une suite bornée.
c. En utilisant le graphique précédent, placer les points An de coordonnées (Un ; 0 ) pour
n=0 , 1 , 2 , 3 , 4 et 5.
On expliquera la méthode choisie pour placer A4 et A5 .
d:Que peut-on conjecturer concernant la limite de la suite ( Un ) ?

[skippy]

personne ?

[skippy]

cela doit pourtant être possible, je n'arrive même pas à me lancer pour la première phase de la récurrence

[LeFou.]

Il faut qu'elle soit bornée entre 2/3 et 1 c'est sa ?
Dis moi juste, la suite est décroissante ou croissante je pourrais peut etre te donner une piste .

[skippy]

La suite est strictement décroissante (puisque f(x) est strictement décroissante)

j'ai relevé ces informations pour faire le raisonnement :

u n+1 = f(un) 2/3

[LeFou.]

Si elle est décroissante il faut que tu montres que 2/3Tu fais pour n=0
Tu pose l' Hypothèse de récurrence.
Tu cherches un peu pour le U(n+1) et tu devrais y arriver sachant que pour prouver le U(n+1) il faut partir de l'hypothèse et rajouter des trucs pour faire apparaître U(n+1) et normalement sa devrait aller tout seul !

[skippy]

Je ferais mieux de partir du u1 parce que u0 = 0. Mais justement c'est pour la suite que je n'arrive pas à faire apparaître U(n+1), avec u(n+1) = f(un) je ne comprends pas. Je dois juste remplacer le x de la fonction par un ? Mais comment écrire pour la suite un par contre ?

[LeFou.]

Pour obtenir la suite, u(n) il faut que tu cherches U1,U2,U3 et sa tu les as en remplacant la valeur précédente de U(n) dans f(x) en prenant x=U(n) . Cela va te donner la suite U(n). Après il faut que arrives a trouver une expression de U(n) en fonction de n, puis tu pourras résoudre le reste comme je t'ai dis plus haut.

[skippy]

Je n'arrive pas à trouver Un, avec une forme comme f(Un) d'habitude, on a une suite auxiliaire et c'est pas le même genre d'exercice

[Djeordjes]

bonjour

f décroissante n'assure en aucun cas que Un le soit...

Prend f(x)=-x+5, Un+1 = f(Un) et Uo = 5, par exemple


Pour la récurrence, supposes que 2/3
Bon travail