Exercice sur les suites ( costaud! et ambigüe)

[Paulu]

Enoncé

On considère une suite (Un) croissante et majorée et on note M un majorant de (Un).

On construit deux suites (an) et (bn) telles que:
. a0 = u0 et b0=M
. Si 1/2(a0 + b0) est un majorant de (Un):



Si 1/2(ao + bo ) n'est pas un majorant de (Un), est le premier terme de (Un) qui dépasse 1/2(a0+b0) et

. Plus généralement, ayant construit a0, a1...., a(n) et b0,b1..., b(n) par ce procédé, on considère

Si c'est un majorant de (Un) , on pose:



sinon est le premier terme de (Un) qui dépasse 1/2(a(n) + b(n)) et b(n+1) = b(n)


Questions:

1) Montrer que (an) est croissante et la suite (bn) décroissante

2) Montrer que, pour tout entier n>:



En déduire que (an) et (bn) sont adjacentes

3) On note L la limite commune des suites (an) et (bn)
On considère un intervalle ouvert I contenant L.
a) Justifier l'existence de m appartenant à N tel que:
si n >m , (an) et (bn)appartient à I

b) On note p l'entier tel que
Montrer que si n > p alors (un) appartient à l'intervalle I.
c) conclure


Alors j'ai beaucoup réfléchi mais je n'ai trouvé que peu de réponses

Pour (an) croissante:
J'ai un peu démontré a l'arrache. En fait on nous dit a0=u0 et si n'est pas un majorant de U(n) a(n+1) est le premier terme de (Un) qui dépasse 1/2(an + bn) .De plus on nous dit que Un est croissante donc si a(n+1) est le premier de Un qui dépasse et Un croissante automatiquement an est croissante!

Pour (bn) décroissante j'ai plus de difficulté à démontrer

Pour la deuxième question je n'ai pas réussi à démontrer les inéquations mais pour démontrer que ce sont des suites adjacentes j'utilise le théorème des gendarmes!


Merci de m'aider

[XENSECP]

Hum je vois ;)
La fameuse dichotomie...

Enfin bref, il faut que tu étudies le signe de an+1 - an en étudiant les différents cas ;)

[Paulu]

oui mais pour an il suffit de dire que un est croissante non? vu ce que j'ai expliqué dans mon différent post

il faudrait plutot étudier bn+1 - bn suivant les cas

[Paulu]

Je relance le post ! merci

[Paulu]

Nobody please?