Fonctions logarithmes et exponetielles

[Nesquik74]

Bonjour à tous

Voilà, j'ai cette exo de mon DM que je dois faire pour la rentré qui porte sur les logarithmes et les exponentielles.

J'ai juste du mal à le finir, j'ai déjà fait la partie A mais je bloque sur la partie B, surtout à partir du 2).

A mon avis,dans le 2)a) on doit prouver que F(e^n)< n par récurrence mais je n'arrive pas à faire le calcule, sinon pour le reste, c'est à dire 2)b et c je ni arrive pas dutout.

Je remercie d'avance tous ce qui m'aideront à comprendre et finir mon DM.

Voicu mon DM:

[apjsl]

pour la question 2)a) tu n'as pas besoin d'utiliser la récurrence; il suffit d'étudier le signe de l'expression f(e^n)-n pour en déduire l'inégalité:
f(e^n)-n= [(n*e^n)/(1+e^n)] - n
<=> [(n*e^n)-(n+n*e^n)]/(1+e^n)
<=> -n/(1+e^n)
Or la e^n est tjrs >0 donc 1+e^n >1
or n est un entier naturel donc n>0 et -n<0 donc f(e^n)-n<0
et donc f(e^n)
ensuite on sait que la fonction f croit strictement, que f(e^n)que f(alpha n)=n Donc e^n < alpha n
[je pose alpha n= An]
b) on te demande de prouver donc tu peux partir de l'égalité que l'on te donne:
Ln(An/e^n)=n/An <=> An*ln(An/e^n)=n
<=> An*[ln(An)-ln(e^n)]=n <=>An[ln(An)-n]=n
<=>An*ln(An)= (n*An) + n
en factorisant par n dans la parite droite de l'équation et en divisant on obtient finalement:
[An*ln(An)]/(1+An) = n


Donc f(An)=n et donc l'égalité est vérifié pour tout n

[Nesquik74]

Merci beaucoup apjsl
tu ma aidé a y voir plus claire:)
je vé pouvoir finir mon DS trankilemen