étude de fonctions exponentielle

[naomi]

bonjour à tous, j'ai un dm à rendre, j'ai buté sur une unique question qui me parait pourtant pas si complexe, je cherche donc qq pistes pour finir=) merci

Voilà l'intitulé:

On se propose d'étudier la fonction f définie sur [0;+ infini[ par

f(x)= (x+1)e^(-1/x) si x sup à 0 et f(0)=0

1) justifier que f est dérivable sur ]0;+infini[ et calculer f'(x)

ça s'est fait, je trouve f'(x)= e^(-1/x) ( 1+ (1/x)+(1/x²)).

2) Etudier la limite de (1+u)e^-u lorsque u tends vers + infini
En déduire que f est dérivable en 0 et déterminer f'(0)

J'ai calculer la limite, c'est 0 mais je ne sais pas quel lien je dois faire entre f(x) et cette deuxième fonction pour montrer la dérivabilité de f et je ne suis pas censée utiliser f' pour calculer f'(0)


Merci d'avance pour votre aide (précieuse :we: )

[uztop]

Bonjour,

oui cette limite vaut effectivement 0, ça te servira pour calculer la dérivée.
Comment est ce que tu peux exprimer la dérivée en 0 (en utilisant la limite du taux d'accroissement) ?

[pusep]

En posant u=1/x,tu te retrouves avec quand x tend vers 0:
lim(f(x)-f(0))/(x-0) qui est le taux de variation de f en 0, tu trouves qu'il est fini, donc que la fonction est dérivable en 0 de dérivée f'(0)