Algebre

[thomas-3030]

Bonjour à tous.

J'ai un probléme avec un exercice sur l'algebre lineaire, voila l'exercice:

Edesigne l'espace vectoriel des fonction de classe C² sur R. Le polynome nul désigne la fonction nulle sur R. Soient F={ f € E f'' - 3 f' + 2f = 0} et
Fo={ f € F f(0)=f'(0)=0}.

J'ai démontrer que c'était un SEV et que (g,h)est une famille libre d'elements de F avec les fonctions g(x)=exp(x) et h(x)=exp(2x).

Voila on me demande aprés de montrer qu'il existe deux réles a et b tels que la fonction f-a*g-b*h appartiennent a Fo.

Merci d'avance de votre aide pour me débloquer dans cet exercice.

[yos]

et ce, quels que soient les réels a et b.
Reste à choisir a et b comme il faut pour que cette fonction soit nulle en 0 et que sa dérivée soit nulle en 0.
Simple calcul (a et b seront exprimés en fonction de f(0) et f'(0)).

[thomas-3030]

Merci bien de la réponse c'est désormais trouvé :we:

Par contre j'ai un doute pour démontrer que (g,h) est une famille libre d'élements de F j'ai fait:

a*g(x)+b*h(x)=0 équivaut à a+b*exp(x)=0 et aprés je dis que cette égalité n'est pas vraie quelque soit a et b réels donc la famille est libre?

[yos]

a*g(x)+b*h(x)=0 équivaut à a+b*exp(x)=0 et aprés je dis que cette égalité n'est pas vraie quelque soit a et b réels

Si toi-même n'est pas convaincu, qu'en sera-t-il de ton correcteur?
Si , tu as donc la fonction exponentielle est constante, absurde, donc b=0, etc.
Autre méthode : dans l'égalité , fais tendre x vers
Troisième méthode : remplace x par 0, puis par 1 et résout en a et b.

[thomas-3030]

Merci pour l'aide, j'ai bien compris.

Bonne journée

[thomas-3030]

Bonsoir, encore un petit probléme sur le meme exercice aprés avoir montrer que les réels a et b existent on me demandait de montrer que:

u(x)=exp(-x)[f'(x)-2f(x)] et v(x)=exp(-2x)[f'(x)-f(x)] étaient des fonctions constantes avec f appartenant à F puis montrer que f était la focntion nulle si f appartenait a Fo. Jusque là c'est bon.

Puis en utilisant ces résultats je dois démontrer que (g,h) est une famille génératrice de F et d'en déduire la dimension de F.

Pour démontrer que c'est une famille génératrice je démontre que vect(g,h)=F? mais je ne vois pas comment avancer dans mes calculs enfin surtout comment démontrer parceque je ne vois pas comment utiliser ce qui précéde.

Merci encore une fois de votre aide.

[yos]

Tu peux exprimer f en fonction de g et h, via les constantes u(x) et v(x) que tu peux renommer c et d.

[thomas-3030]

je ne vois pas du tout comment faire pas faute d'avoir essayé :marteau:

[yos]

et
Soustrait membre à membre.

[thomas-3030]

Ok merci je regarde ça je pense que je vais peut étre y arriver.