1ère S : Besoin d'aide svp.

[amoureternel]

Coucou !!

Je suis en 1ère S et je comprends rien à mon exercice de maths, si quelqu'un pouvez m'aider ...



f est dérivable sur un intervalle I et pour tout réel x de I, m =< f ' (x) =< M où m et M sont deux réels donnés.

1. g la fonction définie sur I par : g(x) = f(x) - mx
a) Démontrez que g est croissante sur I
b) Déduisez-en que si a et b sont deux réels de I tels que a =< b, alors m(b-a) =< f(b) - f(a)

2. En raisonnant de façon analogue à la question 1, démontrez que f(b) - f(a) =< M(b-a) si a=< b .

3. Déduisez alors des questions précédentes un encadrement de f(b) - f(a) lorsque a et b sont dans I et a =< b.


Voilà ca commence dès le début je sais pas comment démontrer ça.

Merci pour votre aide.

[Monsieur23]

Aloha !

Comment montre-t-on qu'une fonction dérivable est croissante en général ?

[amoureternel]

On calcule sa dérivée et on fait un tableau de signe. Selon le signe de sa dérivée, la fonction est croissante ou décroissante.
Mais je vois pas comment calculer la dérivée de g si on a pas f(x)...

[Monsieur23]

Bah quelle est la dérivée de f(x) ? Et de mx ?
Donc de g(x) ?

[flight]

salut si g' est positive alors g est croissante

on part de m
avec g'(x)=f'(x)-m.


alors f'(x)=g'(x)+m

soit m

[amoureternel]

Bah quelle est la dérivée de f(x) ? Et de mx ?
Donc de g(x) ?

la dérivée de f(x) c'est f'(x) et la dérivée de mx c'est mx ?

[amoureternel]

salut si g' est positive alors g est croissante

on part de m<f'(x)<M (1)

avec g'(x)=f'(x)-m.


alors f'(x)=g'(x)+m

soit m<g'(x)+m<M tu dois pouvoir continuer

Pas trop compris =S on peut pas faire avec un tableau de signe de la dérivée ?

[Monsieur23]

la dérivée de f(x) c'est f'(x) et la dérivée de mx c'est mx ?

C'est ça.

Donc g'(x) = f'(x) - m.

Or f'(x) est plus grand que m.
Donc quel est le signe de g'(x) ?

[amoureternel]

Ah d'accord je viens de comprendre, ça me paraissait bizarre sans valeur pour f(x).
Merci beaucoup je vais essayer la suite

[amoureternel]

Si a et b sont deux réels appartenant à I tels que a =< b
G est croissante donc
g(a) =< g(b)
f(a) - ma =< f(b) - mb
- ma + mb =< f(b) - f(a)
m(b-a) =< f(b) - f(a).

C'est ça ?
Merci pour vos réponses.

[Monsieur23]

C'est bien ça !

[amoureternel]

Pour la 2 :

On note h la fonction définie par h(x) = f(x) - Mx.
On calcule la dérivée de h(x) :
h'(x) = f'(x) - Mx
Or f'(x) =< M donc h'(x) =< 0 sur I.
Donc h est décroissante sur I.

A et b sont deux réels appartenant à I tels que a =< b.
Or nous venons de démontrer que h est décroissante sur I.
On a donc :
h(a) >= h(b)
h(a) - Ma >= f(b) - Mb
- Ma + Mb >= f(b) - f(a)
M(-a + b) >= f(b) - f(a)
M(b-a) >= f(b) - f(a)
f(b) - f(a) =< M(b-a)

Pour la 3 :
Si a et b sont deux réels appartenant à I tels que a =< b et si m =< f'(x) =< M , on a :
m(b-a) =< f(b) - f(a) =< M(b-a)


J'espère que c'est juste.Merci beaucoup.

[amoureternel]

Alors c'est juste ?

[Monsieur23]

Oui c'est tout bon !

Bravo !

[amoureternel]

Merci & c'est grâce à ton aide. =)
Merci beaucoup.