Multiplicateurs de Lagrange

[aurk]

Bonjour,

j'ai essayé de faire un exercice sur les extrema d'une fonction à plusieurs variables à trouver avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Pourriez-vous me le corriger s'il vous plaît?

énoncé:

Soit un coeur de réacteur nucléaire cylindrique de rayon R et de hauteur H. La théorie de la diffusion des neutrons impose une contrainte entre R et H :

g(R,H) = (a/R)² + (pi/H)² = b
où a et b sont des constantes.

Il s'agit de trouver (b étant donné) le rapport entre H et R qui minimise le volume du coeur du réacteur, donné par la fonction f.

f(R,H) = piR²H

On utilisera la méthode du multiplicateur de Lagrange et on supposera que l'extrema trouvé est un minimum. Pour les applications numériques, on prendra a = 2.4048.

ma réponse:
je n'ai pas pu faire les d ronds dans les expressions de df et dg!

on a df = (df/dR) dR + (df/dH) dH = 0 à l'extremum
et dg = (dg/dR) dR + (dg/dH) dH = 0 sur le domaine défini par g (R,H) = (a/R)² + (pi/H)² - b =0

dF = df + n dg
= (df/dR + n dg/dR) dR + ( df/dH + n dg/dH) dH
= 0 à l'extremum

or dg/dR = -2a/R² dg/dH = -2pi/H²
df/dR = 2pi RH df/dH = pi R²

d'où 2piRH - 2 n a/R² = 0
piR² - 2 n pi/H² = 0
(a/R)² +(pi/H)² = b

alors n = pi H R^3/a
pi R² - 2pi²R^3/(aH) = 0 = piR² (1- 2pi R/(aH))

d'où R/H = a/(2pi)

application numérique : a = 2.4048 soit R/H = 0.1222

Conclusion: Donc le rapport R/H doit être de 0.1222 si a = 2.4048 pour que le volume du coeur soit minimum

je trouve bizarre de ne pas me servir de b. est-ce normal, sinon, où dois-je l'utiliser?

Merci!

[Maxmau]

Bonjour
dg/dR = -2a/R² dg/dH = -2pi/H² ???

[aurk]

Vous avez raison, je me suis trompée, d'autres personnes me l'on dit

[Pythales]

Si c'est pour illustrer les multiplicateurs de Lagrange, OK. Mais il est plus simple d'exprimer en fonction de et calculer la dérivée.
Je trouve (tu vérifieras) à calculer la dérivée de ce qui donne finalement et (également à contrôler)