Suite récurrente

[stan75]

bonjour pourriez vous s'il vous plait m'aider pour l'étude de cette suite récurrente définie par u0=1 et Un+1=Un+2/Un
car f: x -> x+2/x est une fonction de R* dans R mais elle n'est pas monotone or je croyais que l'on ne pouvait avoir que deux cas soit f croissante soit f décroissante? merci d'avance pour votre aide

[uztop]

Bonjour,

ce n'est pas grave si f n'est pas monotone: elle est quand meme monotone par intervalles.
Quel est le point fixe ? Est ce que u0 se trouve avant ou apres le point fixe ? Est ce que f est croissante ou decroissante sur cet intervalle ?
Au fait, une precision, est ce que c'est bien ? Il manque des parentheses dans ton expression

[stan75]

oui en effet il manque des paranthèses donc je différencie les intervalles et j'étudie la monotonie de U sur chacun d'entre eux?

[stan75]

en faite je voudrais juste savoir pourquoi losque l'on applique la méthode ça ne marche pas car l'ensemble de définition de la fonction est bien R* et on a Uo=1 donc pour savoir si U est définie on a juste à regarder si f(Uo) appartient à R* ce qui est le cas
mais maintenant pour trouver la monotonie de U puis-je ne m'intéresser qu'a l'inervalle ]0,inf[? mais le problème c'est que sur cet intervalle f est décroissante puis croissante donc comment dois-je faire? merci d'avance

[uztop]

mais la fonction c'est ou ?
Dans le premier cas, il n'y a pas de point fixe, ce qui risque d'être gênant ...

[stan75]

oui c bien f(x)=x+(x/2)

[uztop]

Dans ce cas, il n'y a pas de point fixe, la suite ne peut pas converger; reste donc à montrer qu'elle tend bien vers l'infini (et qu'elle ne se met pas à osciller autour d'une certaine valeur)

[Pythales]

s'écrit soit qui s'intègre en et

[stan75]

oui en effet elle n'est pas convergente mais je l'ai montré par l'absurde mais je ne comprend pas comment motrer sa monotonie puisque en supposant pour un certain entier n Un>Un+1 en passant par f je ne peut pas déduire f(Un)>f(Un+1) puisque je sais que f n'est pas monotone