Voici l'énoncé :
Un carré unité est divisé en 9 carrés égaux, le carré central est colorié.
Les huit carrés qui restent sont à leur tour divisés et coloriés suivant le même procédé
Le but de ce problème est de déterminer la limite de l'aire colorée, lorsque le carré initial a une aire égale à 1.
1) Méthode 1
On note Cn l'aire colorée, après la n-ième étape
a) Calculer C1 et vérifier les égalités :
C n+1 = Cn + 1/9(1 - Cn) = 8/9Cn + 1/9
b) On pose vn = cn-1. Montrer que la suite (vn) est géométrique. En déduire la limite de cn quand n tend vers + l'infini
2) Méthode 2
On note bn l'aire laissé en blanc à l'issue de la n-ième étape
Exprimer bn+1 en fonction de bn. En déduire la limite de bn quand n tend vers + l'infini
3) Les méthodes 1 et 2 sont elles réellement différentes ?
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En vous remerciant de votre aide et de votre patience
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