7 et 8 et 9 et 10 ...

[Imod]

Bonsoir à tous .

Un horrible jeu que l'on m'a proposé il y a très longtemps et dont je n'ai toujours pas la solution ...

Un casino vend un jeu de 32 cartes bien battues pour une somme modique à un pigeon de service . Celui ci retourne les cartes une à une en récitant 7 , 8 , 9 , ... et il s'arrête quand la carte retournée correspond à son annonce . Il récupère alors 1€ par carte retournée , combien d'euros peut-il espérer récupérer en moyenne ? Quelle est la probabilité pour qu'il retourne l'ensemble des cartes ?

Amusez-vous bien ( ce jeu est une horreur ) !!!

Imod

[Doraki]

arrivé à 10 il repart à 7 ou il continue jusqu'à As ?

[Imod]

Il continue jusqu'à l'as et reprend 7 , 8 , ... , As , 7 , 8 , ... , jusqu'à ce que son annonce corresponde à sa carte .

Imod

[ffpower]

Il continue jusqu'à l'as et reprend 7 , 8 , ... , As , 7 , 8 , ... , jusqu'à ce que son annonce corresponde à sa carte .

Imod

ET quand l annonce correspond a la carte?Il s arrete?

[Imod]

Oui ! Il s'arrête aussi s'il arrive à la fin du paquet , c'est à dire s'il a retourné les 32 cartes .

Je reprends tout en détaillant :zen:

On achète dans un casino un jeu de 32 cartes classique et bien battu . On retourne la première carte en annonçant "sept" si la carte est un sept on s'arrête sinon on la pose sur la table et on continue . On annonce "huit" , si la carte est un huit on s'arrête sinon on la pose sur la première et on continue . Si rien ne nous arrête on déposera successivement 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; V ; D ; R ; A ; 7 ; 8 ; ... ; A . Une fois le jeu arrêté , on compte les cartes déposées qui rapportent 1€ chacune . Quelle est l'espérance de gain ? La probabilité de retourner l'ensemble du jeu ?

Imod

[ThSQ]

Juste pour voir si j'ai compris :

- s'il choisit le 7 il est sûr de gagner
- s'il choisit le 8 il est sûr de gagner sauf si tous les 8 sont avant le 7
- ....

C'est ça ?

[ffpower]

je crois que tu n as pas tout compris,car le joueur ne choisit rien du tout..A moins que c est moi qui n est toujours pas compris lol.En tout cas,tel que j ai compris l exo,il se modeliserait de la facon suivante.Soit une permutation de {0....31} choisie au hasard de maniere uniforme et on regarde ,et on veut savoir quelle est la proba que soit vide(tout le jeu a été retourné),et quelle est la loi de si Fest non vide,X=32 sinon(X=gain)

[ThSQ]

C'est quoi l'annonce alors ?

[Imod]

Il me semble que c'est le terme "annonce" qui pose problème , j'aurais du dire "récite" car en fait il ne choisit pas !

Imod

[Patastronch]

En gros pour vider le paquet il faut qu'aucune carte ne soit a sa place ?

Donc il faudrait calculer la probabilité que :
aucune carte soit a sa place
la derniere soit a sa place et seulement elle
l'avant derniere soit a sa place et aucune autre avant elle
...
le deuxieme carte soit a sa place mais pas la premiere
la premiere carte soit a sa place

Et on aurait ensuite une espérance de gain de euros ? J'ai compris de travers ou pas ?

p.s: Une carte est dite à sa place si lors de son annonce elle est stoppante. Par exemple pour le 7 de coeur elle est a sa place si elle est 1ere,9eme,17eme ou 25 eme.

[Imod]

C'est bien ça :id:

Imod

[Patastronch]

Bon tout le probleme se résume au calcul du nombre de configuration de k cartes parmi les 32 telles qu'elles soit toute mal placés dans un jeu de k cartes. C'est assez prise de tete :D

[Doraki]

J'ai calculé l'espérance et la loi pour un jeu de 3*4 cartes, et l'espérance (557551/184800) ressemble à rien.
4*4 me donne un stack overflow.
je suis loin du 8*4.

[Imod]

Quelques essais à la main montrent que l'espérance n'est pas très grande pour un jeu de 32 cartes : j'ai réussi une seule fois à retourner l'ensemble des cartes :marteau: Ce jeu est une horreur :censure:

Imod

[Doraki]

En fait j'avais fait une betise dans mon programme
Là il dit que l'espérance est 16862430210396631/5531171802799500
pour un jeu de 32 cartes

Soit un peu plus de 3.

Imod, tu y as beaucoup joué, je vois environ une chance sur 10000 de tout retourner moi =/

[Patastronch]

On cherche donc à calculer

On appelle la probabilité que les k-1 premieres cartes soient mal placées, la k eme bien placée telle que i cartes parmi les 4 postulantes de la k eme place soient dans les k-1 premieres cartes.

Ainsi on aura

Pour calculer , on introduit la probabilité que la j eme carte soit mal placée et ne soit pas une postulante pour la k eme position, et la probabilité que la j eme carte soit mal placé et soit une postulante pour la k eme position avec i occurences possible. On déduira alors de la manière suivante :

Ce qui correspond plus clairement a la probabilité que la k eme carte soit bien placée multipliée par la probabilité que les k-1 premieres cartes soient mal placée. En effet on va definir est définit de telle manière à ce que ca corresponde à la probabilité que la j eme carte soit mal placée en fonction de i, j et k.

On a alors :

est constant et vaut
pour : si est un multiple de 8 et vaut sinon

Si on résume notre espérance, elle vaut alors :



Et la ca bloque pour calculer la probabilité formellement puisqu'il s'agit d'une fonction définie en compréhension et non analytiquement ...


Voila sous réserves d'erreurs dans le raisonnement, la difficulté du problème viens de . J'espère que j'ai été assez clair pour etre compris :s

[Doraki]

Je comprends pas ce qu'est s(i,j,k)
s(2,1,4) vaut combien ?

Je comprends pas non plus pourquoi qj est constant, surtout quand j = k modulo 8.

[Patastronch]

Je comprends pas ce qu'est s(i,j,k)
s(2,1,4) vaut combien ?

Je comprends pas non plus pourquoi qj est constant, surtout quand j = k modulo 8.

c'est la probabilité que la ème carte soit pas à la bonne position telle que cette carte soit une des cartes qui auraient été bien placées à la ème position mais qui sont dans les premières cartes. La probabilité est donc nulle si est une bonne position pour une carte qui aurait été bien placée en ème position (d'où le modulo 8 ). Et la probabilité est de sinon.

c'est la probabilité que la ème carte soit pas à la bonne position mais on s'interdit d'y mettre une carte qui aurait été bien placé à la ème position. Du coup il y a toujours 24 candidates possible pour que ce soit une carte mal placée.


Le but étant que soit la probabilité que la ème carte soit mal placée en de et . Après y a peut être des erreurs dans la façon de les calculer je dis pas

[Doraki]

Mais tu fais un produit des (s(i,j,k)+qj) alors que les événements correspondants sont très loin d'être indépendants, nan ?

[Patastronch]

Mais tu fais un produit des (s(i,j,k)+qj) alors que les événements correspondants sont très loin d'être indépendants, nan ?

Ben pour ma part c est indépendant.

La probabilité associé à l'évenement que la 3 eme carte soit mal positionnée et la probabilité associé a l'évenement que la 4 eme carte soit mal positionnée sont indépendant. C'est en multipliant apres les probabilité qu'on prends en compte que l'intersection de ces évenements. Non ?