Probabilite,

[Anne TRAN]

Bonjour,
J'ai un problème de proba et j'espère que quelqu'un va m'aider:
Exercise est celui qui suit :

Pour condamner un accusé, il faut qu'au moins deux des trois juges de la cours l'estiment coupable. Supposons que la proba qu'un juge estime un coupable innocent est de 0.1, tandis que la proba qu'il l'estime innocent si il l'est vraiment est de 0.7 . Les juges décident en toute indépendance et la proba qu'un accusé quelconque est coupable est de 0.8.
a)Soit X la variable aléatoire qui égale le nombre de juges qui estiment l'accusé coupable. Si l'accusé est réellement coupable, quelle est la loi de X ?et s'il est innocent que devient la loi de X?
b)Quelle est la proba que la cours donne une sentence correct?
c)Quelle est la proba que l'accusé soit condamné?
d)Un accusé est condamné,Quelle est la proba qu'il soit réellement coupable?

Merci en avance!

[john32]

Slt,

Ca risque d'etre un peu long donc je commence par detailler la premiere question puis tu me diras si tu as trouve pour le reste ou non.

Pour repondre aux questions posees je definis de nouvelles variables aleatoires.
Soit D la decision d'un jure. Cela peut etre coupable (c) ou innocent (i).
La vrai nature de l'accuse (A) est une information supplementaire qui doit egalement etre prise en compte.

tu as donc d'apres les donnees du probleme les probabilites suivantes
P(D=c) = 0.8
P (D=i /A=c) = 0.1
P (D=i / A=i) = 0.7

Tu peux donc trouver les proba des evenements complementaires correspondants :
P (D=i) = 0.2
P (D=c/A=c) = 0.9
P (D=c/A=i) = 0.3

A partir de la tu peux facilement trouver les resultats des questions posees.

[john32]

Pour la question a)

X est construit a partir de la variable aleatoire D
ainsi X peut prendre 4 valeurs differentes (0 juges donnent l'accuse coupable, soit 1, soit 2, soit 3)

Tu as donc
P(X=0/A=c) = P(D=i/A=c)^3 = 0.1^3

P(X=1/A=c) = 3 * P(D=i/A=c)^2 * P(D=c/A=c) = 3 *0.1^2 * 0.9
( car un juge le donne coupable mais ce juge peut etre n'importe lequel parmi les trois present)

P(X=2/A=c) = 3 * P(D=i/A=c) * P(D=c/A=c)^2 = 3*0.1 * 0.9^2

P(X=3/A=c) = P(D=c/A=c)^3 = 0.9^3


Et la somme des probabilites fait 1 puisque tu peut reconnaitre l'egalite remarquable (a+b)^3 avec a = 0.1 et b = 0.9

Si l'accuse est reellement innocent alors c'est simplement les valeurs numeriques qui sont a changer

[Anne TRAN]

Je te remercie beacoup, tu m'as beaucoup aidée à comprendre!!
bonne journée

[Anne TRAN]

Salut John32,

J'ai essayé à faire les trois qui reste mais je n'ai pas réussit.
Comme pour la question b), est ce que la proba c'est la somme de P(D=c/A=c) + P(D=i/A=i)?
Je pense il faut faire la soustraction avec l'intersection des deux ensemble mais je ne vois pas c'est quoi cet intersection.
S'il te plaît de me montrer...
MErci beaucoup

[john32]

Je bloque un peu sur la suite en fait car j'ai l'impression qu'une information est manquante. En effet on ne dispose ni de P(A=i) ni de P(A=i/D=i).

Donc meme avec la formule de Bayes il y a trop d'inconnues.
Tu es sur de l'enonce car meme si je peux m'etre trompe la ca me semble bizarre d'etre bloque comme ca

[yos]

C : "l'accusé est coupable".

.
.
La somme de ces deux probas est la probabilité que la cour donne une sentence correcte.

[Anne TRAN]

Merci, j'ai l'ai bien compris le problème...

[Anne TRAN]

J'ai un autre problème comme ci dessous:

Une maladie très dangereuse a été transmise à exactement une personne parmi les 4 employés d'un centre de santé.Chaque employé a autant de chance de l'avoir. Pour détectere cette maladie on utilise un test médical qui assure avec une fiabilité de 95% la détection de cette maladie.Cependent ce test indique aussi un résultat faussement positif pour 0.5% des personnes réellement saines à qui on s'applique. Le premier employé a été testé et le résultat est négatif.
a) Quellle est la proba qu'il soit le porteur?
b)Quelle est la proba que le i ème employé soit le porteur, por i = 2,3,4?

J'ai rédigé le problème et j'ai trouvé avec la formule de Bayes la proba dans la question 1 est 0.0165.
Mais pour la question b), posons :
- E1 = 1 ère personne est malade
- E2 = 2 è ----------------------
- E3 = 3 è ----------------------
- E4 = 4 è ----------------------
N = test affiche négatif

donc, les proba cherchées sont respectivement P(E2/N), P(E3/N), P(E4/N) qui donnent une valeur indentique 1/4

Je trouve qu'il y a un problème dans ma compréhension de l'énoncé mais je n'ai toujours pas trouvé mes erreurs...

S'il te plaît de me montrer la vraie réponse !

Merci à l'avance

Anne

[john32]

Mince yos viens de me faire me rendre compte que je me suis trompe pour les donnees mais la reponse a la premiere question reste correcte. En fait car ce n'est pas P(D=c) qui est egal a 0.8 mais P(A=c).
Donc en fait avec P(A=c) et P(A=i) tui peux calculer les probas de decision de juges P(D=c) ou P(D=i).


Yos a donc raison pour la question 2.
Le reste doit ensuite etre aise

[john32]

Je suis d'accord avec toi pour la premiere question de ton nouvel exercice.
Pour la deuxieme question je n'arrive pas a trouver l'expression du calcul a realiser mais le resultat semble instinctif.
Si le premier a une proba egale a la reponse a la question 1 d'etre malade alors en en prenant le complementaire et en le divisant pas trois on obtient la proba pour les trois autres.
En effet, l'info sur le test de E1 apporte autant d'informations pour tous les autres individus. :zen:

[yos]

Dans cet exo comme dans le précédent, il est vital de faire un arbre. Je ne le dessine pas ici car le latex du forum est limité.
Note l'événement "la personne i est malade" et : "le test est positif pour i".
On a dans la question b (comme dans la question a) que le test est négatif pour la personne 1 (cette hypothèse figure dans le préambule de l'exo et est donc pour toutes les questions), ce qui ne signifie pas que la personne 1 est saine.
L'arbre a pour racine d'où partent deux branches au bout desquelles on place et . Les probabilités sur ces deux branches étant respectivement 0,0165 et 0,9835.
De chacune de ces deux branches partent à nouveau deux branches avec et aux extrémités.
Je te laisse déterminer les probabilités sur ces 4 nouvelles branches et en déduire .

[john32]

Tu es d'accord avec ma solution yos, car j'ai un petit doute malgre la solidite intuitive de mon raisonnement ? :hein:

[yos]

C'est pareil que ce que j'ai fait.

[john32]

Ok je crois que je vois l'idee ici de construire l'arbre. Ca permet de trouver les equations a ecrire mais comme a cause de l'ordre il commence a y en avoir quelques unes c'est quand meme plus pratique de raisonner avec la representation graphique.