Un probleme avec les series de fonctions

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 19:54

j'ai un peu de mal avec mon probleme, il s'agit de montrer ke la serie de fonctions: Un(x)= 1/n² Arctan(nx) (par abus de notation) est normalement convergente> et que sa somme est impaire et continue sur R

Merci d'avance :;)

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 19:58

c'est

ou

??

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 20:09

euh..oui c'est la premiere

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 20:11

c'est bien ce qui me semblait ! ;)

Peux-tu majorer arctan(nx), pour tout x et tout n ?

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 20:14

par pi/2??

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 20:16

exact...

Enfin, au passage, tu peux majorer |arctan(nx)| par pi/2 pour tout x et tout n.
Donc, tu peux conclure, non ? :)

par **Percolaptor** » 15 Fév 2009, 20:18

Bonsoir
quel est le sup(arctan(nx), xR) ?

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 20:22

arctan(nx)/n² < pi/2n² avec pi/n² qui converge (crietere de Riemann) donc la serie converge normalement,n'est ce pas?

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 20:24

Voilà ! Enfin, précise bien en valeur absolue bien-sur...

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 20:27

D'accord.
Enfin comment montrer que la somme est impaire et continue sur R?

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 20:35

Au fait, j'ai ma petite idee pour la somme continue,normalement convergente implique converge uniformement et puisque la fonction est continue sur )0,+l'infini( cela implique que sa somme est continue sur )0,+l'infini(, il me manque l'imparite pour le prouver sur R et de calculer la limite en 0

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 20:39

La convergence normale sur R entraine directement la continuité de la somme, puisque les Un sont toutes continues sur R.

la limite en 0 est immédiate ( tu peux intervertir lim et somme puisque tu as encore une fois CVN sur R... )

Et la somme est clairement impaire, puisque les Un sont aussi toutes impaires !

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 20:43

okii, je me suis complique les choses pour rien alors. merci!! `j'y retourne je te contacte en cas de probleme.

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 20:44

Je t'en prie ! :)

J'espère que mes réponses sont satisfaisantes.

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 21:19

La je bloque sur cette question: il s'agit de montrer que ;)Un'(x) converge normalement sur Ea ={x reels; |x|> a} et que la somme S est continument derivable sur R*

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 21:23

Que valent les Un'(x) ?

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 21:45

Euh si mes calculs sont fiables c'est: 1/(n+n².n.x²)- 2arctan (nx)/ n²n
on majorerait chaque terme a part et sa peut aller?

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 21:47

Euh... tu t'es trompé !

Il ne doit pas te rester d'arctan à la fin...
Tu dois dériver par rapport à x... le facteur 1/n² est donc constant...

par **mibay34** » 15 Fév 2009, 21:52

ah oui tout a fait, et bien c'est: 1/(n+n².n.x²) qu'on peut majorer par 1/ n².n?

par **Taupin sur Lyon** » 15 Fév 2009, 21:55

Non, tu as 2 erreurs encore...
[EDIT] désolé, j'avais mal lu ton résultat [/EDIT]

Quant tu dérives arctan(ax) où a est une constante, ça donne quoi ?

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