Exo sur les espaces vectoriel purement théoriques!!!

[Anonyme]

bonsoir
j'ai fait un petit exo sur les espaces vectoriel mais j'ai rien compris dans la solution:
je le met à votre disposition:
. Montrer que les familles suivantes sont libres :
1)(x->x , x->exp(x))
ça c'est facile.
mais la deuxieme question me choque!
2) la meme questio pour le famille:
( x->exp(x), x->exp(2x), .......,x->exp(nx))??
en fait , pour résoudre cette question ils ont utilisé l'absurde. avez vous une autre methode ???
voila la solution de l'exercice.
http://www.post-bac.com/j/mod_perl/got.pl?dir=m/mpsi/alglbl/evaplin/sev/194

merci

[quinto]

2) la meme questio pour le famille:
( x->exp(x), x->exp(2x), .......,x->exp(nx))??
en fait , pour résoudre cette question ils ont utilisé l'absurde. avez vous une autre methode ???

L'application U:=f->f' est linéaire.
les vecteurs que tu donnes sont vecteurs propres pour U associée à des valeurs propres toutes distinctes (ie il existe a1,a2,... tous distincts tels que
U(v1)=a1v1 U(v2)=a2v2 .... etc)
A+

[Galt]

Pour résoudre ce genre de question, la méthode de base est la suivante : on écrit une combinaison linéaire nulle, et on montre que tous les coefficients sont nuls. Ici, il faut en plus faire une récurrence
Supposons que la fonction soit nulle (il s'agit de fonction, elle est nulle pour tout x). On la dérive, on a qui est aussi la fonction nulle, donc évidemment par soustraction , ce qui élimine le terme en . Il reste (est la fonction nulle), donc par hypothèse de récurrence tous ses coefficients sont nuls, donc sont nuls, et donc aussi et voila

[Anonyme]

merci bien Galt. mais est ce qu'on ne peut pas initialiser la récurrence ?si oui comment?
qu'est ce que vous en pensez de la methode proposée par le site???
désolé Quinto j'ai rien compris dans ta méthode ( je suis qu'un eleve de sup MPSI).mais apparemment elle doit etre interessante . peux tu me l'expliquer un petit peu??
MERCI

[Galt]

Bien sûr il faut initialiser la récurrence, mais pour n=1 la famille est composée de la seule fonction qui n'est pas nulle, donc la famille est libre.
Tu peux appliquer cette méthode à des ex analogues avec des sin(kx), cos(kx) (en dérivant 2 fois)
Elle ne marche pas dans le cas de la famille sin(x+1),sin(x+2),sin(x+3) (qui est une famille liée)
La méthode proposée par ton lien est OK.

[yos]

Variante à la méthode de Galt .

Tu divises par :



et tu fais tendre x vers +oo. Tu obtiens .

Ce que propose Quinto est très bien mais pas à la portée de tout le monde.

[abcd22]

La méthode utilisée par Quinto utilise le fait que des vecteurs propres d'une application linéaire qui correspondent à des valeurs propres différentes* sont linéairement indépendants, mais tu verras tout ça seulement en spé (à moins que les programmes aient changé).

*si K est un corps, E un K-espace vectoriel, une application linéaire et , on dit qu'un vecteur est vecteur propre associé à la valeur propre si et

[Anonyme]

Sinon par l'absurde on peut utiliser les polynomes . Il existe (ai) i=1...n non tous nuls tels que somme de (a_k.exp(kx), k=0...n) = 0 pour tout x, donc on a un polynome de R[X ] qui admet une infinite de racines(les exp(x) pour x reel), sans etre nul : impossible.

Nous ne voyons pas d'autre explication.