Trouver une matrice

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 20:32

Bonsoir, je dois essayer de trouver la matrice d'application linéaire a tel que :

R^2 --> R^2 correspondant à une rotation d'angle Pi/3.
(On doit définir une base en plus).

J'ai essayé de regarder des cours sur le net et les cours donnés par nos professeurs mais je n'ai toujours pas compris comment faire. Donc s'il était possible en même temps de me donner des façons de résoudre des petits exercices comme celui-ci je suis preneur.
Merci d'avance pour vos conseils.

Cordialement.

par **XENSECP** » 12 Fév 2009, 20:34

Tu ne connais pas la matrice 2x2 d'une rotation ? Tu suis quelle filière ?

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 20:37

Je suis en portail physique première année mais je sais très bien que je suis censé avoir suivi le cours ce que j'ai fait aujourd'hui( on aurait du le faire le semestre d'avant mais à cause des problèmes d'emploi du temps et des professeurs on a pas pu faire ce chapitre là). Et donc j'aimerai juste savoir si il y avait un fil conducteur rapide pour comprendre.
Je me rends compte que c'est un peu bête de demander ça en étant en licence.
Merci

par **XENSECP** » 12 Fév 2009, 20:46

La démonstration est quelque peu longue (j'espère que je la mettrais en ligne un jour... lol) mais sinon la matrice est simple :

cos(t) -sin(t)
sin(t) cos(t)

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 20:54

Je vais quand même essayer de trouver par moi même.
Donc si j'ai bien compris, le fait qu'il y ait R^2 signifie qu'il y aura forcément 2 vecteurs composant cette matrice ?
Pour résoudre cette matrice il faut qu'en la "calculant" on trouve quel résultat ? 1 ?
Donc cela donnerait une matrice de la forme :
|cos(t) -sin(t)| . | x |
|sin(t) cos(t)| . | y |

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 21:17

Donc dans ce cas là on remplace bien t par Pi/3 et l'on utilise alors la formule pour calculer la matrice ?

Merci

par **Lemniscate** » 12 Fév 2009, 21:33

La démonstration n'est pas si longue que ca...
On choisit une base orthonormée directe (bond) de R^2 (la base canonique par exemple) B=(i,j) (angle orienté (i,j)=+pi/2 et ||i||=||j||=1), car sinon la matrice ne sera pas de la forme énoncée par XENSECP.

Tu fais un petit dessin à côté. En utilisant le théorème de Pythagore (enfin un corollaire qui te dit que cos(t)=côté adjacent/hypothénuse et sin(t)=côté opposé/hypothénuse) et en notant a la rotation que tu nous a dit :
a(i) = i' = cos(pi/3).i + sin(pi/3).j
a(j) = j' = -sin(pi/3).i + cos(pi/3).j

D'où la matrice dans la base choisie !

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 21:48

D'accord donc si j'ai bien compris la base de la matrice proposée est donc B(1;1) et donc on a après bien
a(i)=cos(pi/3) - sin(pi/3) | = 0 (ensemble a(i)+a(j)=0)
a(j)=sin(pi/3) + cos(pi/3) |
Il faut donc que la somme des lignes soit égale à 0 pour pouvoir dire que la matrice est correcte ?
et comment si l'on prend une autre base par exemple on peut trouver une autre matrice par exemple en remplaçant B=(1;0) on obtiendrait alors :
a(i)= ?
a(j)= 0
Dites moi si je suis dans la bonne voix.
Désolé de poser tant de questions :cry:
Merci

par **Lemniscate** » 12 Fév 2009, 21:58

AgentJ25 a écrit:D'accord donc si j'ai bien compris la base de la matrice proposée est donc B(1;1)

Non tu n'as pas bien compris

. La base que je t'ai proposée est B=((1;0),(0;1)) (2 vecteurs à deux coordonnées) (i=(1;0) et j=(0;1))

donc on a après bien
a(i)=cos(pi/3) - sin(pi/3) | = 0 (ensemble a(i)+a(j)=0)
a(j)=sin(pi/3) + cos(pi/3) |

Encore faux ! Ce n'est pas ce que je t'ai écrit...
En fait dans la matrice que tu obtiens,
à la 1ère ligne, 1ère colonne tu auras la 1ère coordonnée de a(i) dans B=(i,j) donc la coordonnée de a(i) "sur" i.
à la 2ème ligne, 1ère colonne tu auras la 2ème coordonnée de a(i) dans B=(i,j) donc la coordonnée de a(i) "sur" j.
à la 1ère ligne, 2ème colonne tu auras la 1ère coordonnée de a(j) dans B=(i,j) donc la coordonnée de a(j) "sur" i.
à la 2ème ligne, 2ème colonne tu auras la 1ère coordonnée de a(j) dans B=(i,j) donc la coordonnée de a(j) "sur" j.

Or tu as, je te le rappelle :
a(i) = i' = cos(pi/3).i + sin(pi/3).j
a(j) = j' = -sin(pi/3).i + cos(pi/3).j
Mais as-tu fais le dessin pour t'en convaincre ??

Il faut donc que la somme des lignes soit égale à 0

Quoi ?!! depuis quand cos(Pi/3)=sin(Pi/3) ? Je te rappelles que

et

(cf cercle trigo du lycée)

par **XENSECP** » 12 Fév 2009, 22:03

Lemniscate a écrit:La démonstration n'est pas si longue que ca...
!

C'est pas faux... j'étais sur un autre point de la démonstration ^^ (enfin dans ma tête je pensais à un truc qui suivait... vieux mes cours de taupe

)

Bref, dans une base orthonormée on a la matrice que j'ai donné

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 22:15

donc si j'ai bien compris cela donne :
a(i)=cos(pi/3)(1;0) - sin(pi/3)(0;1)
=cos(pi/3)*1+cos(pi/3)*0 - sin(pi/3)*0-sin(pi/3)*1
et du même style pour a(j) ?
J'ai du mal avec les matrices. Ca se voit ? XD

par **Lemniscate** » 12 Fév 2009, 22:25

AgentJ25 a écrit:donc si j'ai bien compris cela donne :
a(i)=cos(pi/3)(1;0) - sin(pi/3)(0;1)
=cos(pi/3)*1+cos(pi/3)*0 - sin(pi/3)*0-sin(pi/3)*1
et du même style pour a(j) ?
J'ai du mal avec les matrices. Ca se voit ? XD

a(i)=cos(pi/3)(1;0) + sin(pi/3)(0;1)

Là d'accord (je ne sais pas pourquoi tu t'acharnes à mettre un - au lieu d'un plus mais bon).
"a(i) = cos(pi/3)*1+cos(pi/3)*0 - sin(pi/3)*0-sin(pi/3)*1"

Là je dit NOOOOOOOONNNNNN ! lol !

Tu passes de R² à R comme ca toi ! pour toi (1;0)=1+0 ? Si oui, c'est entièrement faux

.

1+0 c'est un nombre. (1;0) c'est un point du plan R² !
Tu ne peux pas dire qu'un nombre est égal à un point, ce sont deux entités de natures différentes !
C'est comme si tu écrivais : torchon = serviette !

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 22:38

D'accord ^^, en tout cas merci déjà de me répondre ça m'aide un peu ^^.
D'abord pourquoi il faut mettre le + et pas le - ?
Ensuite, comment il faut calculer en passant par la matrice concrètement ?
J'ai beau essayé de revoir tes conseils j'ai du mal encore à comprendre.
On calcule bien la base B((1;0)(0;1)) avec la matrice donnée. Mais comment faire pour trouver cette matrice ; d'instinct ? XD
On utilise a(i) et a(j) pour dire que cela correspond à chaque ligne si j'ai bien compris ? donc on a bien un calcul de la forme :
a1.1 B1 + a2.1 B2 et
a1.2 B1 + a2.2 B2

Merci du courage dont tu fais preuve.

par **Lemniscate** » 12 Fév 2009, 22:43

Si tu notes a11, a21, a12, a22 les coeffs de ta matrice (a[ligne][colonne] c'est la notation habituelle)
alors a(i) = a11.i + a21.j
et a(j) = a12.i+a22.j

ici
a(i) = cos(pi/3).i + sin(pi/3).j
a(j) = -sin(pi/3).i + cos(pi/3).j

Or comme B=(i,j) est une base, tu peux identifier les scalaires :
donc a11=cos(Pi/3), a21=sin(Pi/3), a12=-sin(Pi/3), a22=cos(Pi/3).

Voilà !

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 22:50

Ok je pense avoir compris le fil directeur^^.
Juste une dernière question par rapport à la solution qui est pour chaque cas cos ou sin de pi/3, tu le découvres comment ?
Comme a11 qui est cos(pi/3) par exemple.
Et enfin dans la matrice donnée en solution, ce ne serait pas plutôt en a21= - sin(pi/3) ? (je chipote peut être)
Merci et je ne vais pas plus t'embêter une fois que j'aurais compris ça^^.

par **Lemniscate** » 12 Fév 2009, 23:03

Non c'est bien a21= sin(pi/3) . En fait dans la 1ere colonne de la matrice tu lis les coordonnées de a(i) dans la base B=(i;j), dans la deuxième colonne celles de a(j).

par **AgentJ25** » 12 Fév 2009, 23:10

Ah oui c'est bon j'ai compris mon erreur.
En tout cas merci beaucoup franchement ça m'a permis de comprendre un peu plus le fonctionnement de cette matrice.
Merci encore à tous.

Cordialement.

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