Résoudre un problème compliqué sur les fonctions

[carole8400]

l'enoncé:
(la feche ==>)
soit a un réel strictement positif. Dans ce problème on recherche à résoudre dans ]0; plus l'infini[ l'équation
(Ea) a^x = x^a
d'inconnue x et de paramètre a, équation qui admet évidemment la solution x = a.
Pour cela on utilise les fonctions.
fa : x==> x^a,ga : x==>a^x : ha : x ==> x.lna-a.lnx
L'étude des fonction Fa et Ga figurant au programme, on pourra utiliser sans justification tout résultat concernant ces fonctions.
Au besoin on considerera que lim Fa = Fa (0) = 0
0
1/on suspose a = e

A.dresser le tableau des variations de la fonction He
b.En deduire la résolution de l'équation ( Ee)
C.Démontrer que l'on a : (x/lnx >= e pour tout x>1

2/ On suppose a = 2
A. Dresser le tableau des variations de la fonction h2
B. En deduire que l'equation(E2) admet exactement deux solutions.

3/On suspose 0A. Dresser le tableau des variations de la fonction Fa - Ga
B. En deduire que l'équation ( Ea) n'a pas d'autre solution que la solution a

4/ a>1 et a<> (diferent) e
A.Dresser le tableau de variations de la fonction Ha
B.Déduire du 1. et de la question A.1.C)que Ha admet uneminimum strictement négatif
C.En deduire de l'equation(Ea) admet exactement deux solutions a et b
4.Demonstrer que l'on a toujours b > 1 et que b < a si et seulement si a >e

[maf]

Bonjour,

As-tu déjà réussi à faire qqch ?

[carole8400]

bonjours,
non pas vraiment et vous pourriez m'aider à comprendre? Mon probleme je n'arrive pas iddentifiant les fonctions et je ne me souviens plus si il faut faire la limites ou derivés la fonction pour dresser un tableau de varation.

[maf]

Dans un tableau de variation, on indique souvent les limites aux bornes du domaine de définition et des valeurs particulières.
Mais il faut essentiellement dériver la fonction pour étudier la croissance ou décroissance de cette fonction

[carole8400]

merci beaucoup mais dans cette exercice il faut que je fasse la derivé pour effectuer les tableaux de variation?

[maf]

C'est tout le temps nécessaire pour faire un tableau de variation

[YLS]

merci beaucoup mais dans cette exercice il faut que je fasse la derivé pour effectuer les tableaux de variation?

Le signe de la dérivée f' sur un certain intervalle [a,b] te donne la variation de f sur [a,b]. Par exemple si f' est négative sur [a,b], f est décroissante sur [a,b]. Certes, quand tu as une fonction triviale du genre x->exp(x), x->3x-2, tu peux affirmer sans calculs qu'elle est (strictement) croissante sur R. Mais dans le cas d'une fonction plus compliquée il faut systématiquement dériver et établir un tableau de variations.

Ceci dit puisque l'énoncé te dit que tu peux utiliser n'importe quel résultat sur fa et ga sans le justifier, alors si tu connais leurs variations, tu n'as pas besoin de tableau. Par contre pour ha il faudra le faire.