Fonction régulière
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
par legeniedesalpages » 06 Fév 2009, 16:14
Bonjour,
je voudrais montrer que la fonction
définie sur
est dérivable à droite de 1, ainsi que toutes ses dérivées.
Pour
et suffisamment petit je trouve
,
et lorsque je fais tendre
vers 0, je tombe sur une forme indéterminée que je n'arrive pas à lever.
Merci pour votre aide.
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Nightmare
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par Nightmare » 06 Fév 2009, 17:26
Salut :happy3:
As-tu fait une DES de ton exposant?
Ton taux de variation vaut donc :
La première tend vers 1/2 et la deuxième tend vers l'infini... problème !
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Nightmare
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par Nightmare » 06 Fév 2009, 17:28
Aïe, la première ne tend pas vers 1/2, le h est au dénominateur, ça tend vers l'infini, forme indeterminée donc.
par legeniedesalpages » 06 Fév 2009, 17:35
Bonjour Jord,
en y réfléchissant je pensais plutôt utiliser les croissances comparées, j'essaie de développer mon raisonnement c'est pas clair du tout :hein:
Mais je n'avais pas du tout pensé à une DES.
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Nightmare
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par Nightmare » 06 Fév 2009, 17:36
Autre méthode donc, mise sous forme canonique :
On pose
On multiplie par la quantité conjuguée :
Or :
Finalement
:happy3:
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ThSQ
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par ThSQ » 06 Fév 2009, 18:50
Tiens le retour de la fonction infiniment plate (aka la super-glu C°°
) !
Pour simplifier on ramène le pb en 0 : il suffit de montrer que
est C°° (et à toutes ses dérivées nulles en zéro).
Lemme : f : [a, b] -> R C°, dérivable sur [a, b] sauf en c avec a c. Alors f est dérivable en c et on a f'(c) = l.
Un coup de TAF. + généralisation à
Maintenant : par réc
avec
une fraction rationnelle. + lemme
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Black Jack
par Black Jack » 06 Fév 2009, 19:36
Question à 100 sous :
Est-il normal d'essayer de montrer qu'une fonction définie par hypothèse sur ]-1 ; 1[ est dérivable à DROITE de 1 ?
:zen:
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Doraki
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par Doraki » 06 Fév 2009, 19:39
Moi aussi ça me perturbe ! Elle l'est trivialement parcequ'il n'y a rien à vérifier !
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ThSQ
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par ThSQ » 06 Fév 2009, 20:36
Elle serait pas vaguement prolongeable en +-1 des fois ....
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xyz1975
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par xyz1975 » 06 Fév 2009, 21:29
legeniedesalpages a écrit:Bonjour,
je voudrais montrer que la fonction
définie sur
est dérivable à droite de 1, ainsi que toutes ses dérivées.
Pour
et suffisamment petit je trouve
,
et lorsque je fais tendre
vers 0, je tombe sur une forme indéterminée que je n'arrive pas à lever.
Merci pour votre aide.
Une façon équivalente à celle donnée par Nightmare :
On multiplie et on divise par h-2 :
La quantité entre crochets se rapproche de 0, pour le voir il suffit de poser
On peux aussi utiliser les équivalences mais c'est long.
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Black Jack
par Black Jack » 06 Fév 2009, 21:58
Il me semble bizarre de chercher si une fonction définie sur ]-1 ; 1[ est dérivable à droite de 1... Donc là où elle n'est pas définie.
Si on veut essayer de prolonger la fonction en +1, on peut mais il s'agit alors d'une autre fonction...
Et de toute manière : lim(x -> +1-) [e^(1/(x²-1))] = 0 et lim(x -> +1+) [e^(1/(x²-1))] = +oo et donc ...
Mais je ne suis pas mathématicien.
:zen:
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kazeriahm
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par kazeriahm » 07 Fév 2009, 01:35
en fait c'est un exemple de fonction assez connu et utile en théorie des distributions.
on montre que la fonction f définie par x->e^(1/x^2-1) sur ]-1,1[ et 0 partout ailleurs est C infini (et bien sur à support compact), ce qui constitue une bonne base pour étudier les distributions, qui sont les formes linéaires continues sur l'ev des fonctions c infini à support compact.
par legeniedesalpages » 07 Fév 2009, 13:38
oui je voulais bien entendu dire à gauche de 1 :briques:
J'avais pensé au lemme, mais pas au TAF.
Merci à vous.
par legeniedesalpages » 07 Fév 2009, 13:40
kazeriahm a écrit:en fait c'est un exemple de fonction assez connu et utile en théorie des distributions.
on montre que la fonction f définie par x->e^(1/x^2-1) sur ]-1,1[ et 0 partout ailleurs est C infini (et bien sur à support compact), ce qui constitue une bonne base pour étudier les distributions, qui sont les formes linéaires continues sur l'ev des fonctions c infini à support compact.
Effectivement, c'est dans ce contexte que je suis tombé sur cette fonction.
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