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Babe
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Intégrale

par Babe » 02 Fév 2009, 12:30

Bonjour,

je dois calculer une primitive et j'ai du mal ...




merci d'avance



JJa
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par JJa » 02 Fév 2009, 17:04

Bonjour,

les primitives ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles en nombre fini.
Elles s'expriment formellement soit avec des séries infinies, soit avec la fonction erf(z) dans son domaine complexe.
Si les bornes d'intégration étaient définies et pour certaines valeurs particulières de ces bornes, l'intégrale définie pourrait alors s'exprimer avec des fonctions usuelles en nombre fini.

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 02 Fév 2009, 17:19

Bj,

comme l'écrit JJa, c'est foutu.
ceçi dit, tu peux utiliser la forme canonique du trinome
pour simplifier un peu l'exposant .

Babe
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par Babe » 02 Fév 2009, 19:34

en plus je dois calculer la transformée de Fourier de cette fonction

donc pour calculer .... c'est pas gagné ....

kazeriahm
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par kazeriahm » 02 Fév 2009, 20:46

Héhé en fait ca ca se fait plus facilement, on a pas forcément besoin de connaitre de primitive de la fonction pour calculer son intégrale (cf la gaussienne). La transformée de Fourier d'une gaussienne (ce qui est modulo une mise sous forme canonique, le cas dans lequel tu te trouves) est d'ailleurs assez célèbre. A mon avis wikipedia est ton ami

Babe
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par Babe » 02 Fév 2009, 21:11

oui je dois faire la TF d'un paquet d'onde gaussien
mais je ne vois pas trop quoi chercher sur wiki ? que veux tu dire par mise sous forme canonique ?

merci d'avance

Joker62
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par Joker62 » 02 Fév 2009, 21:46

Paquet d'onde Gaussien je connais pas mais bon pour ce qui est transformation de Fourier on a la fonction caractéristique qui est pas mal. Surtout qu'on a une jolie formule toute faite.

Phi_X(t) = Exp(imt - 1/2 Sigma^2.t^2) où m et sigma^2 sont les paramètre de la Gaussienne.

On peut étendre le résultat dans R^d s'il faut.

Babe
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par Babe » 02 Fév 2009, 22:54

Joker62 a écrit:Paquet d'onde Gaussien je connais pas mais bon pour ce qui est transformation de Fourier on a la fonction caractéristique qui est pas mal. Surtout qu'on a une jolie formule toute faite.

Phi_X(t) = Exp(imt - 1/2 Sigma^2.t^2) où m et sigma^2 sont les paramètre de la Gaussienne.

On peut étendre le résultat dans R^d s'il faut.

bonjour joker,

on sait que la TF d'une gaussiene est une gaussiene
mais comment arriver à ce résultat à partir de ma formule ?

merci

Joker62
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par Joker62 » 02 Fév 2009, 23:09

La fonction caractéristique d'une var X est définie par E(e^(itX))
On peut se permettre de bosser avec la loi centrée réduite parce que

Phi_(aX+b)(t) = e^(ibt)Phi_X(a.t) (Calcul très simpliste)

Pour Z ;) N(0,1)

Phi_Z(t) = e^(-t^2/2) (La transformée de Fourier d' exp(-t^2/2) est elle-même (a coefficient près ça dépend de la définition)

On a donc pour X = s.Z + m ;) N(m,s^2)
Et avec le calcul de la deuxième ligne :

Phi_X(t) = e^(imt).Phi_Z(s.t) = exp(imt).exp(-(s.t)^2/2) = exp(imt - 1/2 s^2.t^2)

Désolé pour le LaTeX flemmingite :p

JJa
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par JJa » 02 Fév 2009, 23:34

Salut Babe,

dans ton premier message, tu ne nous avait pas dit que ton intégrale (I) avait des bornes définies, ce qui change tout car ce n'est pas une primitive dont tu as explicitement besoin.
En effet, le domaine d'intégration étant de -infini à +infini :
L'intégrale de exp(-bx²) sin(ax)dx est nulle (car fonction impaire).
L'intégrale de exp(-bx²)cos(ax)dx est égale à : sqrt(pi/b)exp(-a²/(4b) )

Babe
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par Babe » 02 Fév 2009, 23:43

salut JJa,

en faite il faut transformer les expo complexe en cos et sin

 

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