étude de x^3 - x² - x - 1

[bakuryu11]

Salut à vous !

Voilà j'ai un dm de maths à faire pour demain et je suis coincé à une question. La voici :

Après avoir étudier les variations de la fonction u définie sur R par :
u(x) = x^3 - x² - x - 1
montrer que la fonction s'annule une fois et une seule sur R

Tout d'abord, je ne vois pas comment trouver les limites en -infini et +infini sur cette fonction car elle mène sur une forme indéterminée.
Ensuite je ne vois pas du tout non plus comment montrer que la fonction s'annule une fois et une seule sur R :s

En vous remerciant d'avance,
Bakuryu11.

[Timothé Lefebvre]

Salut, c'est un polynôme du troisième degré, il a deux solutions complexes et une réelle.
En la calculant on se rend compte que pour cette solution réelle, y vaut 0 ...

[Lemniscate]

Salut,

Ton cours te dit qu'en + ou - un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Ici c'est .

Quand je dérive, je trouve .
Donc u' s'annule en -1/3 et 1.

Après tu regardes u(-1/3) et u(1). et tu peux utiliser le théorème de la bijection continue sur l'intervalle de ton choix !

[bakuryu11]

Merci beaucoup j'avais oublié pour la règle des infinis -_-
Par contre pour la dérivée je trouve :
u'(x) = 3x² - 2x - 1
Donc je comprends pas comment toi tu es arrivé à ce résultat-ci Oo

[Lemniscate]

Merci beaucoup j'avais oublié pour la règle des infinis -_-
Par contre pour la dérivée je trouve :
u'(x) = 3x² - 2x - 1
Donc je comprends pas comment toi tu es arrivé à ce résultat-ci Oo

En fait j'ai juste "factoriser" le polynôme que tu as trouvé

Car tu sais dans le cours de terminale que si 1 est racine (et là 1 est évidemment racine) alors u'(x)=(x-1)P(x) où P polynôme de degré 1 (pour que la somme des degrés vale 2)
donc P(x)=a.x+b.

Après soit tu détermine a et b en développant et identifiant termes à termes,

soit tu dis que -1/3 est racine de u'(x) mais pas de (x-1) donc P(x)=(x+1/3).Q(x) où Q polynôme de degré 0, donc constant ! Q(x)=q, q constante réelle.

Donc u'(x)=q(x-1)(x+1/3) on voit bien que q=3 ici car u'(x) = 3x² - 2x - 1 et q est le coeff de x².

Bye !