Ma création

[Zweig]

Salut,

Je vous propose un exercice que j'ai "crée". Il se peut qu'il soit torché assez rapidement, mais bon ...

Soient et des entiers naturels donnés tels que . Soit un entier naturel tel qu'il existe entiers , , vérifiant : .

Montrer que

[nodgim]

Salut,

Je vous propose un exercice que j'ai "crée". Il se peut qu'il soit torché assez rapidement, mais bon ...

Soient et des entiers naturels donnés tels que . Soit un entier naturel tel qu'il existe entiers , , vérifiant : .

Montrer que

Si tous les xi sont à zéro... :hum:

[Zweig]

Bah, où est le problème ?

[nodgim]

Bah, où est le problème ?

Ben, le résultat ne dépend plus de n.

[laki]

bonjour tout le monde
Zweig, je pense avoir une reponse :

on peut supposer n>=1

1 cas : k=m, alors on a une somme de m termes tous >=1 qui vaut 1, donc tous les termes valent 1, cad soit pour tt i, xi=0, dans quel cas le resultat est faux a priori ! soit n=1, dans quel cas le resultat est vrai !

2 cas : k>m alors on pose h=k-m, l'égalité k=... se réecrit h+m=..., ou encore
(h/m)+1=(1/m)*..., on reconnait a droite une moyenne arithmetique de m termes, on la minore par la moyenne geometrique et on compose par le log pour obtenir : ln(1+(h/m)) >= (1/m)*(x1+...+xm)*ln(n)

on majore le terme a droite par (h/m), on simplifie par m et à droite on va montrer que le terme est minoré par (n-1)

une etude de fonction (je pense que tu vois laquelle) montre que cela revient à montrer que (x1+...+xm)>=2.
Par l'absurde, si sum(...)<2, deux cas :

1) sum(...)=0 alors pour tt i, xi=0 mais alors k=m !!! contraire à l'hypothese
2) sum(...)=1, alors il existe un unique i tq xi=1, k = n + (m-1) et le resultat est verifié !

voilà je pense que tous les cas ont été traités
dis moi ce que tu en penses quand tu auras le temps
a plus

[laki]

ps : désolé pour la lourdeur du message mais je n'ai pas de logiciels adéquats du style latex ou maple" pour la redaction
je tâcherai d'y remedier ...

[Timothé Lefebvre]

Bonjour, le LaTeX est utilisable sur le forum : consulte le lien ci-dessous.

[Asymetric]

bonjour tout le monde
Zweig, je pense avoir une reponse :

on peut supposer n>=1

1 cas : k=m, alors on a une somme de m termes tous >=1 qui vaut 1, donc tous les termes valent 1, cad soit pour tt i, xi=0, dans quel cas le resultat est faux a priori ! soit n=1, dans quel cas le resultat est vrai !

2 cas : k>m alors on pose h=k-m, l'égalité k=... se réecrit h+m=..., ou encore
(h/m)+1=(1/m)*..., on reconnait a droite une moyenne arithmetique de m termes, on la minore par la moyenne geometrique et on compose par le log pour obtenir : ln(1+(h/m)) >= (1/m)*(x1+...+xm)*ln(n)

on majore le terme a droite par (h/m), on simplifie par m et à droite on va montrer que le terme est minoré par (n-1)

une etude de fonction (je pense que tu vois laquelle) montre que cela revient à montrer que (x1+...+xm)>=2.
Par l'absurde, si sum(...)<2, deux cas :

1) sum(...)=0 alors pour tt i, xi=0 mais alors k=m !!! contraire à l'hypothese
2) sum(...)=1, alors il existe un unique i tq xi=1, k = n + (m-1) et le resultat est verifié !

voilà je pense que tous les cas ont été traités
dis moi ce que tu en penses quand tu auras le temps
a plus

J'ai lu rapidement, cependant il y a plus simple pour résoudre, il suffit de regarder "modulo n-1"

[Zweig]

Exact ! :we:

[Zweig]

Pour ta solution laki, si tu pouvais la développer (et la latexiser par la même occasion) car j'ai un peu la flemme de faire les calculs pour vérifier :marteau:

[nodgim]

Salut,

Je vous propose un exercice que j'ai "crée". Il se peut qu'il soit torché assez rapidement, mais bon ...

Soient et des entiers naturels donnés tels que . Soit un entier naturel tel qu'il existe entiers , , vérifiant : .

Montrer que

Bon, j'enfonce le clou avec ce contre exemple:
n=2 m=3
x1=x2=x3=0
k=3
2^0+2^0+2^0=1+1+1=3
n=2>k+1-m=3+1-3=1

[Zweig]

Certes, bah prendre k > m alors !

[nodgim]

Certes, bah prendre k > m alors !

Comme tu veux, je voulais juste parfaire ton énoncé pour qu'il soit juste à 100%. :++: