Continuité uniforme d'une fonction

[saadinto]

Salut

pouvez vous m'éclaircir ce concept de la continuité uniforme ?

bon, ce que j'ai retenu c'est que quand l'écart des x est trop petit alors l'écart des y est trop petit mais a quoi ça peut nous servir ?

merci.

[L.A.]

Bonjour.

Si on compare continuité et continuité uniforme :

la continuité en x exprime le fait que qqsoit la précision e, dès que y est suffisament proche de x, alors f(x) et f(y) sont proches à la précision e.

la continuité uniforme dit que dès que x et y sont proche l'un de l'autre (mais n'importe où) alors f(x) et f(y) sont proches à la précision e.

la CI est donc plus précise.

[saadinto]

d'accord merci.

[L.A.]

Un contre-exemple simple à ce propos est la fonction x² de R dans R, qui est continue mais pas uniformément. si on prend x et y d'écart fixé (x-y=d=cste) et qu'on les fait tendre ensemble vers +inf, on trouve que x²-y² n'est pas borné.

mais si on reste loin de l'infini (cad, si f est définie sur un segment borné[a,b]), alors f continue => f unif. continue (Thm de Heine)