La dérivation (1ère STI).

[Brissotdu37]

Bonsoir


Je voudrais que vous m'aideriez sur un exercice (DM) où je suis bloqué, je vous mets l'énoncé :

" Pour déterminer le rayon d'une bille, on procède expérimentalement. On dépose la bille dans un récipient cylindrique de 10 cm de rayon. On verse l'huile dans le récipient jusqu'au recouvrement de la bille de façon que la surface libre de l'huile affleure le sommet de la bille. On enlève la bille et on mesure le volume d'huile utilisé.


1- Modélisation.

On appelle x le rayon inconnu de la bille.

a- Justifier que x appartient à l'intervalle [0; 10].

b- Exprimer le volume de la bille en fonction de x (on rappelle que le volume d'une sphère est égal à 4/3*pi*R³, où R est le rayon de la sphère). [Fait]

c- Exprimer la hauteur d'huile h en fonction de x. Exprimer le volume occupé par l'huile et la bille dans le récipient en fonction de x (on rappelle que le volume d'un cylindre est égal à pi*r²*h, où r est le rayon de la base du cylindre et h la hauteur du cylindre). [Fait]

d- Déduire des résultats précédents l'expression du volume V d'huile utilisé en fonction de x.


2- Etude de fonction.

Soit la fonction f définie sur [0; 10] par : f(x) = 200x-4/3*x³.

a- Calculer la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f'(x). En déduire le sens de variation de f.Etablir alors le tableau de variation de f. [Fait]

b- Montrer que l'équation f(x) = 2400/pi admet exactement deux solutions dans l'intervalle [0; 10].

c- Déterminer un encadrement de la plus petite des solutions de l'équation f(x) = 2400/pi.


3- Conclusion.

a- Vérifier que V = pi*f(x).

b- On réalise l'expérience décrite au début de l'exercice et on constate que l'on a utilisé un volume de 2400 cm³ d'huile.
Que peut-on conclure de l'étude précedente pour le rayon de la bille ?
Si l'on sait d'autre part que la bille a un rayon inférieur à 5 cm, que peut on conclure ? "


J'ai fait ce que j'ai pu réussir à faire (c'est à dire pas grand chose). Je suis mauvais en géométrie (j'ai complètement ignoré le 1-a-, je ne sais pas comment il faut faire) et je comprends rien à ce qui faut faire avec f(x) = 2400/pi.
Donc je voudrais que vous pourriez me débloquer de cet exercice. Merci d'avance.


Amicalement,

Brissotdu37.

[libertad]

Bonsoir,

Pour le 1 a, je dirais qu'il faut une approche intuitive : le fait que tu puisses mettre la bille dans le cylindre, cela veut dire que le rayon de la sphère de la bille est inférieur à celui de la base du cylindre (qui est ici de 10cm) sinon cela ne rentrerait pas. Comme x est un rayon c'est supérieur a 0.

PS : Je pense que cette question est juste la pour te faire remarquer que x appartient a [0;10] car tu en auras surement besoin dans la suite !

Pour la question avec f(x) = 2400/pi
tu remplaces f(x) par son expression i.e 200x-4/3*x³= 2400/pi
et la il faut que tu modifie cette équation pour arriver a une équation du second degré du type ax²+bx+c =0