Temps d'arrêt sur un jeu

[clicli]

Bonjour,

petite question sur un quiz:

à chaque bonne réponse je gagne 1; j'ai alors le droit de choisir entre arrêter le jeu ou répondre à une nouvelle question.
si je réponds faux, je perds tout et le jeu est fini.
il y a au plus N questions.
les questions sont deux à deux indépendantes, et on répond juste avec une probabilité 0 < p < 1.

Question: à quel moment faut-il arrêter le jeu?

Si on nomme R la VA "la réponse est correcte", alors le gain G est égal à la VA:
G(k)= k * Indicatrice({R(i)=1 pour tout i entre 0 et k}

J'ai alors pensé calculer l'enveloppe de Snell de cette VA et en déduire le temps d'arrêt optimal.

Mais je n'arrive pas à trouver une relation facile pour l'enveloppe de Snell.

Si quelqu'un a une idée.

Merci

[clicli]

Je crois que j'ai trouvé:

on suppose que de N-k+1 à N, l'enveloppe de Snell du gain est égale au gain lu-même: pour tout i de cet intervalle, U(i) = i*Y(1)*Y(2)*...*Y(i) où Y(t) est la VA qui vaut 1 si la réponse est correcte et zéro si elle est fausse.

on suppose que de N-k à 1, l'enveloppe de Snell est strictement supérieure à ce gain:
E(U(N-k+1)|F(N-k)) > (N-k)*Y(1)*Y(2)*...*y(N-k)

Soit, sur le chemin non nul:

p*(N-k+1) > N-k
soit N-k < p/(1-p).

Donc dés qu'on arrive au tirage E(p/(1-p)) ou p/(1-p) -1 si p/(1-p) est entier, il faut se retirer du jeu si l'on a tout gagné jusqu'à présent.

Est-ce correct.