Matrice symétrique inversible

par **les TPEistes** » 17 Jan 2009, 16:42

Bonjour tout le monde !

J'aimerais démontrer la propriété suivante :

L'inverse d'une matrice symétrique inversible est une matrice symétrique.

Mais je n'arrive pas à démarrer la démonstration... Si quelqu'un veut bien me donner un petit coup de main ce n'est pas de refus !

Merci et bon week end !

par **Joker62** » 17 Jan 2009, 16:56

Tu peux toujours utiliser la formule directe de l'inverse d'une matrice

Et montrer que le coefficient i,j est le même que celui j,i

A^-1 = 1/det(A) * Transposée(Comatrice(i,j))

par **les TPEistes** » 17 Jan 2009, 16:58

Bonjour Joker,

Je n'ai ni vu les déterminants, ni les comatrices malheureusement... :hein:

par **Joker62** » 17 Jan 2009, 17:01

La transposée tu connais ? c'est beaucoup plus rapide que l'idée originale en plus (pardon :D)

par **les TPEistes** » 17 Jan 2009, 17:06

Euh oui ça je connais :)

par **Joker62** » 17 Jan 2009, 17:11

So nickel alors :)
Je rappelle que Transposée(AB) = Transposée(B)Transposée(A)

Que pour une matrice inversible on a :
I = Transposée(I) = Transposée(A.A^-1) = Transposée(A^-1)Transposée(A)

Ce qui donne que (Transposée(A)) ^ -1 = Transposée(A^-1)
Autrement dit l'inverse de la transposée, c'est la transposée de l'inverse.

Maintenant comme A est symétrique, Transposée(A) = A et tu conclus !!!

par **les TPEistes** » 17 Jan 2009, 17:13

D'accord, merci bien Joker ;) !

par **AnA92** » 17 Jan 2009, 17:16

De passage , moi aussi j'ai découvert cette année lesmatrice et aussi les méthodes de calcul d'inverse et là http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=79046&highlight=l%27inverse+rang+matrice tu trouve une explication pour la méthode de comatrice.

Matrice symétrique inversible

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