Fonctions réciproques de sh, th

[Camillect]

Bonjour,
Je n'arrives pas à trouver les fnctions réciproques de sh et th, bien que je sais que:

argsh est la réciproque de sh et que de même argth est la réciproque de th je n'arrive pas à le démontrer. En effet je tombe sur une différence d'exp, ce que je n'arrive pas à résoudre.

( sh(x) = (exp(x) - exp(-x))/2 )

( th(x) = (exp(x) - exp(-x))/(exp(x) + exp(-x))

Merci d'avance :we:

[XENSECP]

tu veux démontrer quoi ?
argsh(x) = ?

Edit : parce que si c'est ça il y a au moins 3 méthodes ;)

[Camillect]

Je cherche à démontrer que argsh est la réciproque de sh et que argth est la réciproque de th, mais je ne suis pas censée connaître les fonctions argth et argsh.

En fait je doit trouver les fonctions réciproques de sh et th

[XENSECP]

Faut savoir... tu veux l'expression de argsh(x) = f(x) (chercher f) ou quoi ?

[Camillect]

oui je dois trouver les réciproques de sh et de th par le calcul

[XENSECP]

Bah c'est que je dirais il y a plein de méthodes

La plus intuitive c'est dire :
sh(x) = y
argsh(y) = x

Donc en clair exprimer x en fonction de y dans :

[Camillect]

Je vais essayer ça merci!

[mathelot]

aloha,

vite fait, car c'est hyper classique.

x réel,y réel

on a les équivalences




on calcule le delta (réduit)



ou


manque de bol, la deuxième solution est strictement négative

la relation initiale s'inverse en



c'est donc une formule pour argsh(y)

Pour th

x réel,







c'est donc une formule pour argth(y)

[XENSECP]

aloha,

vite fait, car c'est hyper classique.

x réel,y réel

on a les équivalences




on calcule le delta (réduit)



ou


manque de bol, la deuxième solution est strictement négative

la relation initiale s'inverse en



c'est donc la formule pour argsh(y)

Pour th

x réel,







c'est donc une formule pour argth(y)

Effectivement c'est en détaillé, la méthode dont j'ai parlé ... bien que ce soit pas la plus simple...ou la plus rapide

[mathelot]

. bien que ce soit pas la plus simple...ou la plus rapide

d'autres méthodes m'intéressent. Comment fais tu ?
tu relie trigo hyperbolique et trigo classique :

cos(x)=ch(ix) ?


si on connexifie le graphe d'une hyperbole , le long des asymptotes,
par l'ajout d'un point à l'infini
en compactifiant le plan, est-ce que l'on peut récupérer
des fonctions périodiques , périodiciser les fonctions hyperboliques ????? :doh:

en gros , c'est tout simple. on remonte l'hyperbole (plane) sur une sphère
grace à la projection stéréographique, on regarde ce qui se passe au pole nord.

[XENSECP]

Oh non ^^ Beaucoup + simple ^^
Vive la taupe :D

[mathelot]

Bah c'est que je dirais il y a plein de méthodes

en vlà une autre. Elle est si peu naturelle que c'est une vraie pitié de l'exposer :hum:




avec les fonctions réciproques

on sait que est dérivable et



et la primitive de

qui s'annule en 0 est


je cherche d'autres démos possibles..

[mathelot]

bon, voilà une variante qui est bien :zen:



en remplaçant y par




de même



en remplaçant y par


on résolvant le système