Pb exo type BAC

[Kiwi`]

Bonjour à tous, j'ai un exercice où je bloque à un moment :
on part tout d'abord d'une fonction u(x) = ln x + x -3 définie sur ]0,+inf[
je réponds aux questions etc.
dans la partie 2, j'ai une autre fonction : f(x) = ( 1 - 1/x ) ( ln x -2 )
on me demande les limites, de voir si cette fonction est dérivable sur ]0,+inf[
de calculer f'(x) et d'étudier les variations de f(x). avec la dérivé j'obtiens :
1/x² * ( ln x -3 +x) j'ai donc repéré 1/x² * u(x) et ensuite on me demande de montrer que f(alpha) = - [ (alpha-1)²/alpha ] alpha est la seule solution de u(x) = 0 que j'ai démontré auparavant. j'ai essayé de faire f(alpha) = (1 - 1/alpha) (ln alpha -2 ) de simplifier et tout ça, par moyen je n'y arrive pas je vous montre :
( 1 - 1/ alpha ) - (ln alpha -2 ) =
ln alpha - 2 - ln alpha/ alpha + 2/ alpha =
[ alpha ln alpha - 2alpha - ln alpha + 2 ]/alpha et je bloque ici, je ne trouve pas sur internet je pense qu'il y a des propriétés sur le log qui simplifieraient la chose. donc voila si quelqu'un a une idée de comment je pourrais montrer que f(alpha) = - ( alpha -1 )²/ alpha, je lui en serais très reconnaissante merci d'avance

[Quidam]

Par définition de , ! Donc , ou encore :
non ?

Si maintenant tu dois évaluer , tu peux calculer :

et remplacer par , et le tour est joué !

[Kiwi`]

Ohhh mais exact. Je m'emportais dans des calculs fous alors que c'était assez simple :) je te remercie beaucoup et bonne continuation !
Cordialement