Etude de fonction avec ln

[Ino chan]

Bonjour à tous.

J'aurais besoin de votre aide pour déterminer le signe d'une dérivée.

J'ai f(x) = -x/2 + ln ((x-1)/x)
f est définie sur ]-infini ; 0[ U ]1; +infini[

Je dois trouver le sens de variation de f, j'ai donc calculé sa dérivée :
f'(x) = -1/2 + 1/(x(x-1))

Et à partir de là, je sais que je dois trouver le signe de la dérivée en fonction de x, mais je n'arrive pas à aller plus loin que :
-1/2 + 1/(x(x-1)) > 0 <=> 1/(x(x-1)) > -1/2

Merci d'avance pour tous vos conseils !

[XENSECP]

Oui trouve le signe




tableau de signes

[Ino chan]

Désolée, mais je ne vois pas comment vous trouvez ça, car ce n'est pas :
1/(x/(x-1)) mais 1/(x*(x-1))...

[XENSECP]

Désolée, mais je ne vois pas comment vous trouvez ça, car ce n'est pas :
1/(x/(x-1)) mais 1/(x*(x-1))...

Pardon ^^
Autant pour moi ^^



Ca ne change pas grand chose au raisonnement

[Ino chan]

OK c'est ce que j'ai fait, et j'ai suivi votre conseil du tableau de signe.
Je calcule séparément les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur, et je fais mon tableau de signe.

Pour le numérateur je trouve 2 racines : -1 et 2
-x^2 + x + 2 est négatif sur ]-1 ; 2[ et positif sur ]-infini ; -1 [ U ] 2; +infini[

Pour le dénominateur je trouve 0 et 1, 2x ( x-1) est donc négatif sur ]0;1[ et positif sur le reste.

Par contre après quand j'arrive à la ligne de f', je dois mettre une double barre entre 0 et 1 pour montrer que ces deux valeurs sont impossibles ? (car elles annulent le dénominateur) ?

Je tombe finalement sur :
f'(x) < 0 sur ]-infini ; -1[ U ]2 ; +infini[ et f'(x) > 0 sur ]-1 ; 0[ U ] 1; 2[

C'est ça ?

[CDuce]

salut,
Alors pour f'(x) le résultat est juste :
f'(x)=1/x(x-1) -1/2
= (2-x²+x)/2x(x-1)
Maintenant il nous reste qu'a chercher le signe du numérateur, en utilisant (delta) on trouve les deux solutions ou s'annule ce dernier, pour le dénominateur pareille :
x=0 ; x=1 On trace un petit tableau de signes et voila ça saute au yeux :]
Et n'oublies pas la double barre au point 0 et 1 .