Math spé

[Kah]

Salut a tous et a toutes!
J'ai un probleme de maths old school. L'enoncé est un peu (tres?) sec:
Trouver a et b naturels positifs tel que
PPMC(a,b)-9PGDC(a,b)=13.
J'ai, pour commencer, noté A=PPMC(a,b) et B=PGDC(a,b).
J'ai ensuite résolu l'équation diophantienne A-9B=13.
On trouve A=130+9k, k relatif, et B=13+k.
Jusque la,pas de probleme. En utilisant A>0, B>0, et B
-12Et la, je ne sais plus trop quoi faire.
J'ai essayé B divise A, mais rien.
Je pourrai le faire au cas par cas, mais 26 cas, voila quoi :zen: .

Merci d'avance pour vos idées!

[le_fabien]

Salut a tous et a toutes!
J'ai un probleme de maths old school. L'enoncé est un peu (tres?) sec:
Trouver a et b naturels positifs tel que
PPMC(a,b)-9PGDC(a,b)=13.
J'ai, pour commencer, noté A=PPMC(a,b) et B=PGDC(a,b).
J'ai ensuite résolu l'équation diophantienne A-9B=13.
On trouve A=130+9k, k relatif, et B=13+k.
Jusque la,pas de probleme. En utilisant A>0, B>0, et B<ou egal A, j'ai reussi a borner le "k":

-12<ou egal k<ou egal 14.
Et la, je ne sais plus trop quoi faire.
J'ai essayé B divise A, mais rien.
Je pourrai le faire au cas par cas, mais 26 cas, voila quoi :zen: .

Merci d'avance pour vos idées!

Bonsoir,
je n'ai rien fait encore mais as tu pensé que AB=ab ?

[axiome]

Re Kah, je t'ai envoyé un embryon de réponse par MP, j'ai la flemme de remarquer : grosse flemme ce soir décidemment... :happy2:

[Zweig]

Salut Kah,

Lemme : Soient et des entiers. Alors avec le PGCD et le PPCM.

Preuve : Je te la laisse :we: . Il faut utiliser les décomposition en facteurs premiers et remarquer que pour tous entiers naturels et (plus généralement, pour tous réels) :

Peut-être (normalement) que tu as déjà vu ce théorème en cours. Aussi, si on note le PGCD de et , alors il existe des entiers naturels et , premiers entre eux tels que et .

Avec tout ça, notre équation se réécrit, avec le PGCD :



En n'oubliant pas que et sont premiers entre eux, tu en déduis facilement toutes les solutions.

[Kah]

Okay, merci pour ces réponses.
Je savais que PGCD(a,b)*PPMC(a,b)=ab, mais bon avant de trouver a et b, j'ai cru bon de trouver pgcd et ppmc.

[Kah]

trouvé!
les couples de solutions sont (1,22) (2,11) et (13, 130).
Bon?