Polynome de bernstein

[cchamw]

Bonjour à tous, j'ai un dm à faire et je bloc sur une question. La voici : soit f une app continue de [0,1] vers R et quel que soit n appartenant à N fn la fonction polynôme définie par : Somme(de k=0 à n)(Cn^k f(k/n)x^k(1-x)^(n-k)) relation 1
soit g la fonction déf sur [0,1] par quel que soit x appartenant à [0,1] g(x)=xf(x)
fn et gn étant les fonctions associés à f et g par la relation 1, il faut vérifier que quel que soit x appartenant à [0,1], quel que soit n appartenant à N* (x(1-x)/n)fn'=gn(x)-xfn(x)

je connais fn j'ai réussi à calculer gn, fn' et (x(1-x)/n)fn', mais je n'arrive pas à montrer l'égalité, j'ai jamais vraiment bien su manipuler les sommes... :hein:
si qq un pouvait m'aider svp

merci d'avance

[cchamw]

c'est bon j'ai réussi à montrer l'égalité, par contre pour la suite on me demande de déterminer fn pour f(x)=x² et je n'y arrive pas.
Peut on m'aider svp ?

merci

[Anneauprincipal]

Bonjour,

Il faut simplement remplacer f(k/n) par sa valeur dans la somme et écrire C(n,k) avec les factorielles, et se débrouiller pour faire disparaitre le k^2 de la somme (en le faisant "manger" par la factorielle).

[Maxmau]

c'est bon j'ai réussi à montrer l'égalité, par contre pour la suite on me demande de déterminer fn pour f(x)=x² et je n'y arrive pas.
Peut on m'aider svp ?

merci

Bonjour
Voici une méthode qui vient des probas (fonction génératrice de la loi binomiale)

Je note B[n,k](x) = C(n,k) x^k (1-x)^(n-k) où C(n,k) = « k parmi n »
Et pour n et x donnés : (t) = B[n,k](x) t^k (somme pour k=0,1,2,…..,n)
On a immédiatement : (t) = [(1-x)+xt]^n
En calculant ’(1) et ’’(1) de 2 façons, on a une expression de
kB[n,k](x) et k(k-1)B[n,k](x)
d’où l’on peut déduire une expression de k²B[n,k](x)