DM ensembles et vecteurs

[illuvatari]

Bonjour,

voila un petit exo encore bien difficile pour moi

ABCD est un carré de côté 2. Trouver les ensembles suivants.

E1={M€P/AM=2} (AM=DISTANCE)
E2={M€P/AM.AB=2} (AM et AB=VECTEURS)
E3={M€P/MB^2+MD^2=4} (MB et MD=DISTANCES)
E4={M€P/AM.AB=0} (AM et AB=VECTEURS)
E5={M€P/MA^2-MC^2=0} (MA et MC=DISTANCES)
E6={M€P/MA.MB=4} (MA et MB=VECTEURS)

avec €="appartient à"

je ne vois pas par ou commencer, il y a une méthode à suivre?

Merci beaucoup à vous si vous pouvez me répondre !

[XENSECP]

E1 il est évident ! Cherche tous les points M qui sont à une distance de 2 de A ;)

[illuvatari]

que signifie le P dans M€P?

P est-il le carré ABCD donc pour E1, M serait soit D, soit B?

[XENSECP]

Je pense plutot que P = "plan" :)

[illuvatari]

ok, donc pour la démonstration, on démontre comment pour etre rigoureux?

c'est logique dans ma tête mais je ne sais pas comment justifier mathématiquement?

[XENSECP]

Hum si c'est logique dis moi ce qu'est E1 ?

[illuvatari]

bah, un cercle de centre A et de rayon 2?

vive la confiance^^

sinon comment interpréter le fait qu'un produit scalaire soit égal à 2?

[illuvatari]

bon, ok...

donc :

E2={M€P/AM.AB=2}

AM.AB = 2
....... on pose I milieu de [AB] <=> (AI + IM).AB =2

donc AB.AI+AB.IM=2

et la, je bloque. Pour avancer, j'ai essayer d'interpréter E2 géométriquement, mais je n'y parviens pas.

que faire?

[illuvatari]

20mn plus tard...

ohééé?... ohééé?... ohééé?... ohééé?

c'est bien vide par ici :triste:

[illuvatari]

j'ai peut-être trouvé une piste :

on a vu que AB.AI+AB.IM=2

or, AB.AI=0

donc AB.IM=2

or AM.AB=2

donc AB.IM=AM.AB

donc IM=AM

donc A et I sont confondus.

mais I est le milieu de AB, donc A ne peut être I, c'est impossible?!

[illuvatari]

c'est bon, je viens de trouver E2, c'est la médiatrice de [AB]

je les ai tous trouvés sauf E3 et E6.

pour E3={M€P/MB^2+MD^2=4} (MB et MD=DISTANCES)

cela ressemble à une équation de cercle, mais c'est tout ce que j'ai trouvé?

(je rappelle que l'on est dans le carré ABCD de côté 2)

[illuvatari]

j'ai eu une idée:

dans le carré ABCD de côté 2, je pose I, milieu de BD

selon la définition de l'énoncé, on a

MB² + MD² = 4(en distances)

donc

(MI + IB)² + (MI + ID)² = 4 (en vecteurs: carré scalaire)

MI²+2MI.IB+IB²+MI²+2MI.ID+ID²=4 (identités remarquables)

or, ID=-IB, donc ils s'annulent

donc

2MI²+4MI+2IB²=4

est-ce faux?