Construction géométrique de solutions. Second degré, Cercles

[tuni81_mouss]

Bonjour je suis nouveau sur ce forum mais il m'a déjà aidé plusieurs fois, donc aujourd'hui je vous demande votre aide pour un problème que je n'arrive à résoudre:

On se propose de résoudre par une construction géométrique toute équation du second degré.
Soit ax² + bx + c = 0 (E)
Dans le repère (O;i,j) orthonormal, on place les points I, A, B, C définis par :OI en vecteur =i ; IA en vecteur =a*(vec)i ; AB en vecteur = b(vec)j ; BC en vecteur = -c(vec)i

A tout points P de coordonnées (O,"alpha"), on associe le point N de la droite (BC) construit de la façon suivante.
La droite (PI) coupe (AB) en un point M.
La droite perpendiculaire en M à (PM) coupe (BC) en N.

1. Calculez les coordonnées de M puis de celles de N.

2. Démontrez que > équivaut à dire a² + b + c = 0

3. D'après la question précédente, les solutions de (E) sont les ordonnées des points P pour lesquels la construction précédente donne N = C .
En supposant que P (et donc M) existe, justifiez que M appartient au cercle de diamètre [IC].
Décrivez comment vous construisez le ou les points P qui conviennent.

4. Appliquez cette méthode pour résoudre les équations suivantes.
a) 2x² - x - 6 = 0
b) 4x² - 3x + 3 = 0
c) 8x² - 2x - 3 = 0

5. Retrouvez géométriquement la condition d'existence des racines d'une équation du second degré.

Voici la figure qui est donnée:

http://www.cyberpapy.com/download/file.php?id=41

J'ai répondu à toutes les questions mais je bloque pour la dernière...

Je sais que la condition d'existence en question c'est que le discrimant du trînome: "delta" = b²-4ac doit être supérieur ou égal à 0.
Et je sais aussi que géométriquement ça se traduit par le fait que la moitié de [IC] c'est à dire le rayon du cercle de diamètre [IC] doit être supérieur à la distance entre le centre du cercle et (AB).

C'est bon pour le moment ou pas?
Et ensuite je voudrais savoir quel démonstration je dois faire pour faire le lien entre la situation géométrique et la condition d'éxistence, je vous serai reconnaissant si vous pouviez me donner une piste.
J'ai essayé en calculant de façon littérale la longueur du rayon avec les coordonnées de I et de C et ensuite la longueur entre le centre et l droite (AB) mais les résultats ne sont pas cohérents...

Merci d'avance à tous, bonne aprèm, ++.

[tuni81_mouss]

Personne ne peut m'aider?
SVP si vous avez un idée n'hésitez pas.

[tuni81_mouss]

J4ai peut être trouvé une piste, j'ai pensé à cherché l'équation du cercle de diamètre [IC]:
Dans le plan muni d'un repère orthonormé , considérons le cercle de centre O ( a; b) et de rayon r , le cercle étant l'ensemble des points M situé à une distance de r du centre ( a; b), on a :
(x-a)²+(y-a)²=r²

On peut peut-être utiliser l'équation du cercles et celle de la droite pour trouver l'intersection des deux?

MErci,++.

[Sa Majesté]

Bonjour
Il y a des lettres qui ne sont pas passées dans ton 1er post, ce qui rend sa compréhension un peu difficile

[tuni81_mouss]

Merci de ta remarque, donc j'ai corrigé c'est bon.

Ensuite j'ai suivis cette piste, voici mes résultats.

J'ai écrit l'équation du cercle de diamètre IC et de centre O:
OI²=(x-a)²+(y-a)²
Et celle de la doite (AB):
x=1+a

Il me suffit plus que trouver les valeurs de y possible.
Je suis donc tombé sur un joyeux système, après calculs je fini sur:
+4y²-4by+4ac=0
<=>+4(y²-by+4ac)=0
<=> y²-by+4ac=0

Je retombe donc sur un trinome, ainsi y (ordonnée du point M) n'existe pas pour b²-4ac<0, et existe pour b²-4ac supérieur ou égal à 0.

Donc j'ai prouver que M (intersection du cercle de centre 0 et de la droite (AB) ) existe que si b²-4ac supérieur ou égal à 0, je retrouve donc la condition d'existence des racines d'une équation du second degré géométriquement et je prouve grâce à cette démonstration...

Qu'en pensez-vous?

[Sa Majesté]

Salut
A mon avis tu te compliques la vie
Il n'y a pas de calcul à faire
As-tu montré que M est sur le cercle de diamètre [IC] ?
Il suffit donc de tracer ce cercle
Il coupe (AB) en 2 points, ou 1, ou 0 suivant les cas
Ensuite tu traces la droite (ou les droites) (IM)
Elles coupent l'axe des ordonnées en un point (ou deux points) dont l'ordonnée est une solution de l'équation du second degré

[tuni81_mouss]

Ok, mais c'est bon je l'ai fais ça.

La je cherche la question 5, il faut que je trouve géométriquement la condition d'existence des équations du second degré.
Géométriquement c'est: OI (rayon cercle) > ou = à O(AB) (distance centre et cercle), et je dois prouver que mathématiquement ça correspond à b-4ac> ou = à 0.

[Sa Majesté]

OK désolé ...
I(1,0) et C(a+1-c,b)
Le centre du cercle de diamètre [IC] a pour coordonnées (1+(a-c)/2,b/2)
La distance du centre du cercle à la droite (AB) d'équation x=a+1 est |a+c|/2
Le rayon du cercle est
Le cercle de diamètre [IC] et la droite (AB) se coupent si

[tuni81_mouss]

Ca a plutôt l'air juste et bien trouvé.
Mais je ne comprends pas, comment tu déduis la distance entre le centre du cercle et la droite (AB)?

Et ensuite comment passe tu de la première à la seconde ligne de calcul?

[Sa Majesté]

Ca a plutôt l'air juste et bien trouvé.

Ca me rassure ! :zen:

Mais je ne comprends pas, comment tu déduis la distance entre le centre du cercle et la droite (AB)?

La distance d'un point à une droite D d'équation est donnée par la formule

Bon utiliser cette formule ici c'est un peu comme écraser une mouche avec un marteau pilon puisque la droite (AB) est verticale mais ça marche quand même








Mais sinon on peut aussi faire comme tu as dit : trouver l'équation du cercle et étudier l'intersection du cercle et de la droite (AB)

Et ensuite comment passe tu de la première à la seconde ligne de calcul?

Comme j'ai des nombres positifs dans la 1ère ligne, j'élève au carré pour avoir la 2ème ligne