Forme différentielle

par **maxao** » 04 Jan 2009, 19:53

bonsoir, je bloque sur un exercice sur les formes différentielles dont l'énoncé est le suivant:

On considère sur U={(x,y) R^2; y>0} la forme différentielle:

w(x,y)= (x/y^2) dx + g(x,y) dy

où g est telle que w soit fermé sur U et g(O,y)=y.

Trouver la fonction g.

voila ce que j'ai essayé de faire:
w est fermé d/dy (x/y^2) = d/dx (g(x,y))
donc je fais la dérivée partielle de (x/y^2) par rapport à y et je trouve -2x/y^3
ce résultat est donc égal à la dérivée partielle de g(x,y) par rapport à x; j'en déduis donc g(x,y) en cherchant une primitive et je tombe sur g(x,y)= (-x^2)/y^3 ce qui ne correspond pas à la condition g(0,y)=y
Donc je me suis surement planté

si quelqu'un peut m'aider?!

par **Nightmare** » 04 Jan 2009, 19:58

Salut !

Non, lorsqu'on primitive par rapport à x, on obtient additivement une application qui dépend uniquement de y !

Autrement dit :

par **maxao** » 04 Jan 2009, 22:36

donc g(x,y)=((-x^2)/3) + y.

l'autre question est : expliquer pourquoila forme w est exacte, et donner les fonctions f définies sur U, telles que w=df.

voici ma réponse:

w est exacte w admet une primitive
donc j'intègre la fontion w et j'obtiens f(x,y)=((x^2)/(y^2)) + (y^2)/2
est ce que la réponse est bonne?

par **Nightmare** » 04 Jan 2009, 22:39

salut :happy3:

Je ne comprends pas vraiment ta justification !

Moi je citerai simplement le théorème de Poincaré : Sur un ouvert étoilé, les formes différentielles exactes sont exactement les formes différentielles fermées.

Ca tombe bien, U est un ouvert étoilé !

par **maxao** » 04 Jan 2009, 22:42

comment fais tu nightmare pour écrire les fractions, les derivees partielles comme cela au fait?

par **Nightmare** » 04 Jan 2009, 22:50

Il y a une distribution LaTeX sur le site.

par **maxao** » 04 Jan 2009, 23:09

ok merci beaucoup.

par **muse** » 04 Jan 2009, 23:52

au signe pret :)

Forme différentielle

forme différentielle

Qui est en ligne