Nombres parfait

[darkwhite]

Salut à tous,
J'ai un exercice (qui accessoirement me rend fou) nommé Nombres parfait. Avec une question :
si n est un entier alors on note S(n) la somme de ses diviseurs positifs.
montrez que si m et n sont deux entiers tels que m^n = 1 (PGCD(m,n) sont premiers entre eux) alors S(mn)=S(m)*S(n
J'ai montré que le produit d'un diviseur de m et d'un diviseur de n est un diviseur de nm
Mais pour la suite je ne vois pas trop comment avancer :
En fait en faisant sa sur des exemple et des nombres simple je vois bien que sa ne marche que quand ils sont premiers entre eux mais je ne vois pas comment le rediger de manière formelle en fait.
Ou faire intervenir le fait que pgcd(a,b)=1, car dans ce cas une super factorisation est possible.

j'ai décomposé et je n'arrive pourtant pas a identifier que le devellopement se fasse "membre a membres"






or
[/TEX]

Merci d'avance pour votre aide

[fatal_error]

Salut,

je vois bien que sa ne marche que quand ils sont premiers entre eux

Donc need CNS
:
, avec des nombres premiers, tels que
, avec des nombres premiers, tels que

(premiers entre eux)

--------

Par absurde : supposons que x et y non premiers entre eux :



Or,
donc
absurde car p est un diviseur donc différent de 0

Ya un problème dans ton écriture de la somme, tu gardes les diviseurs élevés a la puissance alors que dans l'énoncé ca dit juste la somme des diviseurs. Enfin, je pense

[darkwhite]

Merci de ta réponses c'est vrai qu'il manque des choses dans mon écriture en fait
Merci bien !

[leon1789]

si n est un entier alors on note S(n) la somme de ses diviseurs positifs.

(premiers entre eux)

S(n) est la somme des diviseurs positifs mais pas uniquement premiers, donc . Non ?

[fatal_error]

en faisant mon enquete :bad: sur darkwhite, suite a une remarque de gaara dans un autre post, j'ai vu que tu avais soulevé une boulette de plus que j'avais faite.

La sur le coup, désolé pour la non suite a ta question (surement qui a pour but de m'indiquer l'erreur). Et pis la je vois pas trop comment jpourrais partir du coup.

On dit que la rentrée porte conseil... :cry:

[fatal_error]

d'ailleurs, c'est de pire en pire car si je prends
m=4, s(m):bad:=1+4+2+2=9
n=3, s(n)=1+3=4
pgcd(m,n)=1
s(mn)=s(12)=1+12+2+6+3+4=28
s(m)*s(n)=9*4=36
s(mn)!=s(m)s(n)

:marteau:

[leon1789]

Et pis la je vois pas trop comment jpourrais partir du coup.

EDIT : là, il y a "gourage" entre cardinal et somme... mais c'est pas grave en fait. Merci yos

S(m.n) = cardinal { diviseurs de m.n }
S(m) = cardinal { diviseurs de m }
S(n) = cardinal { diviseurs de n }

Il faut montrer que S(m.n) = S(m).S(n) lorsque pgcd(m,n)=1

En fait, on peut démontrer plus que ça ! Au lieu de se cantonner aux cardinaux, on peut démontrer que { diviseurs de m.n } est en bijection avec le produit cartésien de { diviseurs de m } et de { diviseurs de n } lorsque pgcd(m,n)=1.
En passant aux cardinaux, on tombe sur le résultat demander.

Maintenant la bijection :
{ diviseurs de m } X { diviseurs de n } -> { diviseurs de m.n }
(d,e) -> d.e

Cette application admet une application réciproque car pgcd(m,n)=1.
Laquelle ?

[yos]

Cette application admet une application réciproque car pgcd(m,n)=1.
Laquelle ?

??
Sinon S(n) est la somme des diviseurs de n, pas leur nombre. Mais ce que tu dis le fait quand même.

[fatal_error]

J'ai même pas eu le temps de manger mon morceau de viande que l'exo est deja resolu! :happy2:

sinon du coup, javais pensé, parce que chui têtu a utiliser ca :
Pour déterminer la somme des diviseurs d'un entier non premier, on décompose l'entier en facteurs premiers ; on trouve la somme des diviseurs de chacun des facteurs ; puis, on fait le produit de ces sommesici

Du coup, avec la decomp en facteur premiers de p et q :

on a


et

Sinon, chui encore sur la bijection, la, je pige pas trop a quoi elle va servir, mais la je mets ca de coté, j'ai pas mal de taff a faire pour la rentrée

[leon1789]

??

yes yos

Sinon S(n) est la somme des diviseurs de n, pas leur nombre. Mais ce que tu dis le fait quand même.

ha yes yos !

[leon1789]

sinon du coup, javais pensé, parce que chui têtu a utiliser ca :
Pour déterminer la somme des diviseurs d'un entier non premier, on décompose l'entier en facteurs premiers ;

Avec la factorisation en premiers, on oublie le cas où certains entiers sont nuls.

[leon1789]

Sinon, chui encore sur la bijection, la, je pige pas trop a quoi elle va servir, mais la je mets ca de coté, j'ai pas mal de taff a faire pour la rentrée

f :
{ diviseurs de m } X { diviseurs de n } -> { diviseurs de m.n }
(d,e) -> d.e

:
{ diviseurs de m } X { diviseurs de n } <- { diviseurs de m.n }
(pgcd(x,m), pgcd(x,n) ) <- x


Vérifions sans utiliser de factorisation en premiers , mais plutôt Bézout et les idéaux de Z.

Dans un sens :

Or (car x divise mn)

donc

Dans l'autre sens :

Or (utiliser ).
De même, .

donc







Une fois la bijection ainsi établie, on fait la somme des éléments , et : on a bien S(mn) = S(m)S(n)

Mais dans tout ça, c'est bien f et sa réciproque qui sont le plus précis et donc le plus important, je pense.

[fatal_error]

c'est plutot joli, mais je pense qu'il va falloir que je bouffe du bezout et des ideaux de Z qui me sont totalement nouveaux :marteau:

[leon1789]

c'est plutot joli, mais je pense qu'il va falloir que je bouffe du bezout et des ideaux de Z qui me sont totalement nouveaux :marteau:

Utiliser Bézout ici, c'est pas forcément le top en fait... On peut démontrer que les applications sont réciproques l'une de l'autre en utilisant la factorisation en premiers, et finalement, je pense même que c'est le plus simple ici : il s'agit simplement de séparer un produit en fonction des premiers qui divisent m et ceux qui divisent n...

[yos]

On peut déguiser les choses avec la propriété qui entraîne

et donc

[leon1789]

oui, pourquoi pas